Номер 2, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}}$;

2) $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6$;

3) $\left(a^{1\frac{4}{7}} b^{\frac{3}{14}}\right)^{2\frac{6}{11}}$ .

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

В данном случае показатель степени результата будет равен разности показателей делимого и делителя:

$\frac{17}{18} - (-\frac{1}{12}) = \frac{17}{18} + \frac{1}{12}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 18 и 12 это 36. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.

$\frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{34}{36} + \frac{3}{36} = \frac{34+3}{36} = \frac{37}{36}$

Следовательно, итоговое выражение имеет вид $a^{\frac{37}{36}}$.

Ответ: $a^{\frac{37}{36}}$

2) Для упрощения выражения $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6$ последовательно применим свойства степеней.

Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого члена выражения:

$(a^3)^{-0,4} = a^{3 \cdot (-0,4)} = a^{-1,2}$

$(a^{-5})^{-0,2} = a^{-5 \cdot (-0,2)} = a^{1}$

$(a^{-0,7})^6 = a^{-0,7 \cdot 6} = a^{-4,2}$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$a^{-1,2} \cdot a^1 : a^{-4,2}$

Далее, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении – вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Выполним эти действия по порядку:

$a^{-1,2 + 1 - (-4,2)} = a^{-0,2 + 4,2} = a^4$

Ответ: $a^4$

3) Упростим выражение $(a^{1\frac{4}{7}} b^{\frac{3}{14}})^{2\frac{6}{11}}$.

Первым шагом преобразуем смешанные числа в показателях степеней в неправильные дроби:

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$2\frac{6}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{28}{11}$

Выражение принимает следующий вид:

$(a^{\frac{11}{7}} b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}}$

Теперь воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(a^{\frac{11}{7}})^{\frac{28}{11}} \cdot (b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}}$

Далее, для каждого множителя применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

Для переменной $a$: $a^{\frac{11}{7} \cdot \frac{28}{11}} = a^{\frac{11 \cdot 28}{7 \cdot 11}} = a^{\frac{28}{7}} = a^4$

Для переменной $b$: $b^{\frac{3}{14} \cdot \frac{28}{11}} = b^{\frac{3 \cdot 28}{14 \cdot 11}} = b^{\frac{3 \cdot 2}{11}} = b^{\frac{6}{11}}$

Соединив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение $a^4 b^{\frac{6}{11}}$.

Ответ: $a^4 b^{\frac{6}{11}}$