Номер 4, страница 108 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции $y = \sqrt[8]{(x-4)^8} + (\sqrt[8]{x-1})^8$.

Исходная функция: $y = \sqrt[8]{(x-4)^8} + (\sqrt[8]{x-1})^8$.

Для построения графика сначала найдем область определения функции (ОДЗ) и упростим ее выражение.

Первое слагаемое $\sqrt[8]{(x-4)^8}$ определено для любого действительного числа $x$, так как выражение в подкоренном пространстве $(x-4)^8$ всегда неотрицательно. По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, мы можем упростить это слагаемое: $\sqrt[8]{(x-4)^8} = |x-4|$.

Второе слагаемое $(\sqrt[8]{x-1})^8$ определено только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно: $x-1 \ge 0$, что означает $x \ge 1$. При выполнении этого условия, выражение упрощается до $x-1$.

Областью определения всей функции является пересечение областей определения ее слагаемых, то есть $x \ge 1$.

На этой области определения ($x \ge 1$) функция принимает вид:$y = |x-4| + x-1$.

Теперь раскроем модуль $|x-4|$. Выражение $x-4$ равно нулю при $x=4$. Рассмотрим два случая в пределах ОДЗ.

1. Если $1 \le x < 4$, то выражение $x-4$ отрицательно, следовательно, $|x-4| = -(x-4) = 4-x$. Функция на этом промежутке: $y = (4-x) + (x-1) = 3$.

2. Если $x \ge 4$, то выражение $x-4$ неотрицательно, следовательно, $|x-4| = x-4$. Функция на этом промежутке: $y = (x-4) + (x-1) = 2x-5$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:$y = \begin{cases} 3, & \text{если } 1 \le x < 4 \\ 2x-5, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

Построим график этой функции.

На промежутке $[1, 4)$ график представляет собой отрезок горизонтальной прямой $y=3$. Начало отрезка в точке $(1, 3)$ (точка закрашена), конец — в точке $(4, 3)$ (точка выколота).

На промежутке $[4, \infty)$ график представляет собой луч, заданный уравнением $y=2x-5$. Найдем начальную точку луча при $x=4$: $y = 2 \cdot 4 - 5 = 3$. Начало луча находится в точке $(4, 3)$. Эта точка "закрашивает" выколотую точку от предыдущего участка, делая функцию непрерывной. Для построения луча найдем еще одну точку, принадлежащую ему, например, при $x=5$: $y = 2 \cdot 5 - 5 = 5$. Луч проходит через точки $(4, 3)$ и $(5, 5)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из двух частей: горизонтального отрезка прямой $y=3$, начинающегося в точке $(1, 3)$ и заканчивающегося в точке $(4, 3)$ (точка $(1,3)$ включена), и луча $y=2x-5$, выходящего из точки $(4, 3)$ и проходящего, например, через точку $(5, 5)$.