Номер 4, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции $y = \sqrt{3|x|-2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{3|x| - 2}$ выполним поэтапный анализ.

1. Область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3|x| - 2 \ge 0$

$3|x| \ge 2$

$|x| \ge \frac{2}{3}$

Данное неравенство эквивалентно совокупности $x \ge \frac{2}{3}$ и $x \le -\frac{2}{3}$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{2}{3}; \infty)$.

2. Симметрия графика

Проверим функцию на четность, найдя значение $y(-x)$:

$y(-x) = \sqrt{3|-x| - 2} = \sqrt{3|x| - 2} = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Следовательно, мы можем построить часть графика для $x \ge \frac{2}{3}$, а затем симметрично отразить ее относительно оси Oy, чтобы получить вторую часть.

3. Построение графика

Рассмотрим случай $x \ge \frac{2}{3}$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{3x - 2}$.

Это ветвь параболы. Для ее построения найдем координаты нескольких ключевых точек:

- При $x = \frac{2}{3}$ (начальная точка ветви), $y = \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{2}{3}; 0)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{3 \cdot 2 - 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2; 2)$.
- При $x = 6$, $y = \sqrt{3 \cdot 6 - 2} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(6; 4)$.

Строим эту ветвь, соединяя полученные точки плавной кривой.

Теперь, используя свойство симметрии, отражаем построенную ветвь относительно оси Oy. Получаем вторую ветвь, которая будет проходить через точки $(-\frac{2}{3}; 0)$, $(-1; 1)$, $(-2; 2)$, $(-6; 4)$.

Объединение этих двух ветвей и является искомым графиком функции.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3|x| - 2}$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси ординат. Правая ветвь является графиком функции $y = \sqrt{3x - 2}$ для $x \ge \frac{2}{3}$ и начинается в точке $(\frac{2}{3}; 0)$, проходя через точки $(1; 1)$ и $(2; 2)$. Левая ветвь является ее зеркальным отражением относительно оси Oy, начинается в точке $(-\frac{2}{3}; 0)$ и проходит через точки $(-1; 1)$ и $(-2; 2)$.