Номер 6, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Докажите, что множество чисел вида $\frac{1}{2n}$, где $n \in N$, счётно.

По определению, множество является счётным, если его элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие (то есть установить биекцию) с множеством натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$.

Обозначим данное в задаче множество как $A$. Таким образом, $A = \{ \frac{1}{2n} \mid n \in N \}$.

Чтобы доказать счётность множества $A$, построим функцию $f$, которая отображает множество натуральных чисел $N$ на множество $A$, и докажем, что это отображение является биекцией.

Рассмотрим функцию $f: N \rightarrow A$, заданную правилом $f(n) = \frac{1}{2n}$.

Для того чтобы эта функция была биекцией, она должна быть инъективной и сюръективной.

1. Докажем инъективность.
Функция является инъективной, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. То есть, если $f(n_1) = f(n_2)$, то должно выполняться $n_1 = n_2$.
Пусть $f(n_1) = f(n_2)$ для некоторых $n_1, n_2 \in N$.
Тогда по определению функции: $$ \frac{1}{2n_1} = \frac{1}{2n_2} $$ Из этого равенства следует, что $2n_1 = 2n_2$. Разделив обе части на 2, получим $n_1 = n_2$. Таким образом, функция $f$ инъективна.

2. Докажем сюръективность.
Функция является сюръективной, если для любого элемента $y$ из области значений ($y \in A$) существует такой элемент $x$ из области определения ($x \in N$), что $f(x) = y$.
Возьмем произвольный элемент $a$ из множества $A$. По определению множества $A$, этот элемент имеет вид $a = \frac{1}{2k}$ для некоторого натурального числа $k \in N$.
Нам нужно найти такое натуральное число $n$, чтобы $f(n) = a$. $$ f(n) = \frac{1}{2k} $$ $$ \frac{1}{2n} = \frac{1}{2k} $$ Отсюда следует, что $n = k$. Поскольку $k$ — натуральное число, то и $n$ — натуральное число. Таким образом, для любого элемента $a \in A$ мы нашли прообраз $n \in N$. Значит, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = \frac{1}{2n}$ является одновременно инъективной и сюръективной, она является биекцией. Существование биекции между множеством $A$ и множеством натуральных чисел $N$ доказывает, что множество $A$ счётно.

Ответ: Множество чисел вида $\frac{1}{2n}$, где $n \in N$, является счётным, так как установлена биекция $f(n) = \frac{1}{2n}$ между этим множеством и множеством натуральных чисел $N$.