Номер 4, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Вместо * поставьте один из кванторов $\forall$ или $\exists$, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) ($*x \in \mathbf{R})(|x|(x^4 + 3) > 0$);

2) ($*n \in \mathbf{N})(6^n - 1$ кратно 5).

1) Рассматривается высказывание $(*x \in \mathbb{R})(|x|(x^4 + 3) > 0)$.

Чтобы определить, какой квантор следует поставить, проанализируем выражение $|x|(x^4 + 3) > 0$ для произвольного действительного числа $x$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства:

• Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$. Следовательно, $x^4 + 3 \ge 3$. Таким образом, множитель $(x^4 + 3)$ всегда является строго положительным числом.
• Выражение $|x|$ (модуль $x$) по определению всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$.

Произведение неотрицательного числа $|x|$ и строго положительного числа $(x^4 + 3)$ будет строго больше нуля ($>0$) тогда и только тогда, когда $|x| > 0$.

Условие $|x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, за исключением единственного значения $x = 0$.

Если $x = 0$, то левая часть неравенства обращается в ноль: $|0|(0^4 + 3) = 0 \cdot 3 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Поскольку существует значение $x \in \mathbb{R}$ (а именно $x=0$), для которого данное утверждение ложно, мы не можем использовать квантор всеобщности $\forall$ ("для всех").

Однако утверждение истинно для любого $x \neq 0$. Например, для $x=1$ получаем $|1|(1^4 + 3) = 4$, и $4>0$ — истина. Так как существует хотя бы одно значение $x$, для которого утверждение верно, следует использовать квантор существования $\exists$ ("существует").

Ответ: $\exists$

2) Рассматривается высказывание $(*n \in \mathbb{N})(6^n - 1 \text{ кратно } 5)$.

Здесь $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Требуется определить, для всех ли натуральных $n$ или только для некоторых из них выражение $6^n - 1$ делится на 5 без остатка.

Проверим утверждение для нескольких первых значений $n$:

• При $n=1$: $6^1 - 1 = 5$. $5$ кратно $5$.
• При $n=2$: $6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$. $35$ кратно $5$.
• При $n=3$: $6^3 - 1 = 216 - 1 = 215$. $215$ кратно $5$.

Это наводит на мысль, что утверждение может быть верным для всех натуральных $n$. Докажем это.

Способ 1: Анализ последней цифры.

Любая натуральная степень числа 6 оканчивается на цифру 6: $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и т.д. Это связано с тем, что $6 \cdot 6 = 36$, и последняя цифра произведения определяется последними цифрами множителей. Таким образом, число $6^n$ всегда оканчивается на 6. Тогда число $6^n - 1$ будет всегда оканчиваться на $6-1=5$. Любое целое число, оканчивающееся на 5, кратно 5. Следовательно, $6^n-1$ кратно 5 для любого $n \in \mathbb{N}$.

Способ 2: Использование сравнений по модулю.

Утверждение "$6^n - 1$ кратно 5" эквивалентно сравнению $6^n - 1 \equiv 0 \pmod{5}$.

Рассмотрим число 6 по модулю 5: $6 = 1 \cdot 5 + 1$, значит, $6 \equiv 1 \pmod{5}$.

По свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$. Применив это свойство, получаем:

$6^n \equiv 1^n \pmod{5}$

Так как $1^n = 1$ для любого $n$, имеем $6^n \equiv 1 \pmod{5}$. Вычитая 1 из обеих частей сравнения, получаем:

$6^n - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{5}$, то есть $6^n - 1 \equiv 0 \pmod{5}$.

Это доказывает, что $6^n - 1$ делится на 5 для любого натурального $n$.

Поскольку утверждение истинно для всех без исключения натуральных чисел $n$, следует использовать квантор всеобщности $\forall$.

Ответ: $\forall$