Номер 7, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Множество A содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

Пусть дано множество $A$, которое содержит $n = 25$ элементов. Необходимо определить, каких подмножеств у этого множества больше: тех, что содержат чётное число элементов, или тех, что содержат нечётное число элементов.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование бинома Ньютона

Количество подмножеств множества из $n$ элементов, содержащих ровно $k$ элементов, равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Пусть $N_{чётн}$ — это общее количество подмножеств с чётным числом элементов, а $N_{нечётн}$ — с нечётным.

Тогда для $n=25$:

$N_{чётн} = \binom{25}{0} + \binom{25}{2} + \binom{25}{4} + \dots + \binom{25}{24}$

$N_{нечётн} = \binom{25}{1} + \binom{25}{3} + \binom{25}{5} + \dots + \binom{25}{25}$

Рассмотрим формулу бинома Ньютона для $(1-x)^n$:

$(1-x)^n = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 - \binom{n}{3}x^3 + \dots + (-1)^n\binom{n}{n}x^n$

Подставим $n=25$ и $x=1$:

$(1-1)^{25} = \binom{25}{0} - \binom{25}{1} \cdot 1 + \binom{25}{2} \cdot 1^2 - \binom{25}{3} \cdot 1^3 + \dots - \binom{25}{25} \cdot 1^{25}$

Так как $(1-1)^{25} = 0^{25} = 0$, получаем:

$0 = \binom{25}{0} - \binom{25}{1} + \binom{25}{2} - \binom{25}{3} + \dots - \binom{25}{25}$

Сгруппируем слагаемые с положительными и отрицательными знаками:

$0 = (\binom{25}{0} + \binom{25}{2} + \dots + \binom{25}{24}) - (\binom{25}{1} + \binom{25}{3} + \dots + \binom{25}{25})$

Это равенство можно переписать в виде:

$0 = N_{чётн} - N_{нечётн}$

Отсюда следует, что $N_{чётн} = N_{нечётн}$.

Способ 2: Комбинаторное доказательство

Выберем в множестве $A$ один произвольный элемент и обозначим его как $a$. Теперь мы можем установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между подмножествами с чётным и нечётным числом элементов.

Определим правило, по которому каждому подмножеству $S$ множества $A$ сопоставляется другое подмножество $S'$:

• Если элемент $a$ принадлежит подмножеству $S$, то $S' = S \setminus \{a\}$ (то есть, мы удаляем элемент $a$ из $S$).
• Если элемент $a$ не принадлежит подмножеству $S$, то $S' = S \cup \{a\}$ (то есть, мы добавляем элемент $a$ в $S$).

Это преобразование меняет количество элементов в подмножестве ровно на 1. Следовательно:

• Если в $S$ было чётное число элементов, то в $S'$ станет нечётное число элементов.
• Если в $S$ было нечётное число элементов, то в $S'$ станет чётное число элементов.

Таким образом, мы каждому подмножеству с чётным числом элементов сопоставили единственное подмножество с нечётным числом элементов, и наоборот. Если применить это правило дважды, мы всегда вернёмся к исходному подмножеству. Это означает, что мы построили биекцию между совокупностью "чётных" подмножеств и совокупностью "нечётных" подмножеств.

Наличие биекции между двумя конечными множествами означает, что они содержат одинаковое количество элементов.

Заключение

Оба способа доказывают, что количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов. Общее число подмножеств для множества из 25 элементов равно $2^{25}$. Следовательно, число "чётных" и "нечётных" подмножеств равно $2^{25} / 2 = 2^{24}$.

Ответ: Количество подмножеств с чётным количеством элементов и с нечётным количеством элементов одинаково.