Номер 3, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания. Известно, что $f(A) = 0$ и $f(\bar{A} \wedge \bar{B}) = 0$. Найдите $f(B)$.

Пусть $f$ — функция истинности. Это означает, что значение $f(X)$ для любого высказывания $X$ зависит только от истинностного значения самого высказывания $X$ (истинно оно или ложно). Обозначим истинностное значение высказывания $X$ как $[X]$, где $[X]=1$, если $X$ истинно, и $[X]=0$, если $X$ ложно. Таким образом, если $[X] = [Y]$, то $f(X) = f(Y)$.

По условию задачи нам даны два утверждения: $f(A) = 0$ и $f(\overline{A \land \overline{B}}) = 0$. Наша цель — найти значение $f(B)$.

Сначала упростим логическое выражение во втором условии, используя законы де Моргана:

$\overline{A \land \overline{B}} \equiv \overline{A} \lor \overline{\overline{B}} \equiv \overline{A} \lor B$.

Таким образом, второе условие можно переписать в виде $f(\overline{A} \lor B) = 0$.

Теперь у нас есть система условий: $f(A) = 0$ и $f(\overline{A} \lor B) = 0$.

Рассмотрим все возможные истинностные значения для высказывания $A$.

Случай 1: Высказывание A истинно

Если $A$ истинно, то его истинностное значение $[A]=1$. Из первого условия $f(A) = 0$ следует, что для любого истинного высказывания $T$ значение функции $f(T)$ равно 0. То есть, $f(X)=0$ при $[X]=1$.

Теперь рассмотрим истинностное значение выражения $\overline{A} \lor B$. Так как $A$ истинно, то $\overline{A}$ ложно. Тогда $[\overline{A} \lor B] = [\text{Ложь} \lor B] = [B]$.

Следовательно, второе условие $f(\overline{A} \lor B) = 0$ превращается в $f(B) = 0$.

Таким образом, если $A$ истинно, то $f(B)=0$.

Случай 2: Высказывание A ложно

Если $A$ ложно, то его истинностное значение $[A]=0$. Из первого условия $f(A) = 0$ следует, что для любого ложного высказывания $F$ значение функции $f(F)$ равно 0. То есть, $f(X)=0$ при $[X]=0$.

Рассмотрим истинностное значение выражения $\overline{A} \lor B$. Так как $A$ ложно, то $\overline{A}$ истинно. Тогда $[\overline{A} \lor B] = [\text{Истина} \lor B] = 1$ (Истина).

Второе условие $f(\overline{A} \lor B) = 0$ означает, что $f(\text{Истинное высказывание}) = 0$. То есть, $f(X)=0$ при $[X]=1$.

В этом случае мы получили, что функция $f$ равна 0 как для ложных высказываний (из $f(A)=0$), так и для истинных высказываний (из $f(\overline{A} \lor B)=0$). Это означает, что $f$ является константной функцией, всегда возвращающей 0, независимо от истинности ее аргумента: $f(X) = 0$ для любого высказывания $X$.

Следовательно, в этом случае значение $f(B)$ также будет равно 0.

Поскольку в обоих возможных случаях для высказывания $A$ (истинно оно или ложно) мы приходим к выводу, что $f(B)=0$, это и является решением задачи.

Ответ: 0