Страница 111 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия

1. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos^2 6\alpha - 1}{1 - \sin^2 6\alpha} - \mathrm{tg}12\alpha \mathrm{ctg}12\alpha;$

2) $\frac{4 \cos^2 7\alpha}{\sin 14\alpha};$

3) $\frac{\sin 14\alpha - \sin 10\alpha}{\cos 3\alpha - \cos 7\alpha};$

4) $2 \cos 8\alpha \cos 9\alpha - \cos 17\alpha.$

1) Упростим выражение $\frac{\cos^2{6\alpha} - 1}{1 - \sin^2{6\alpha}} - \text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha$.

Для первой дроби используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$.

Из него следуют два равенства:

В числителе: $\cos^2{6\alpha} - 1 = -(1 - \cos^2{6\alpha}) = -\sin^2{6\alpha}$.

В знаменателе: $1 - \sin^2{6\alpha} = \cos^2{6\alpha}$.

Таким образом, первая дробь равна $\frac{-\sin^2{6\alpha}}{\cos^2{6\alpha}} = -(\frac{\sin{6\alpha}}{\cos{6\alpha}})^2 = -\text{tg}^2{6\alpha}$.

Для второго слагаемого используем тождество $\text{tg}{x} \cdot \text{ctg}{x} = 1$.

Следовательно, $\text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha = 1$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$-\text{tg}^2{6\alpha} - 1 = -( \text{tg}^2{6\alpha} + 1)$.

Используя еще одно тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$, получаем:

$-(\text{tg}^2{6\alpha} + 1) = -\frac{1}{\cos^2{6\alpha}}$.

Ответ: $-\frac{1}{\cos^2{6\alpha}}$.

2) Упростим выражение $\frac{4\cos^2{7\alpha}}{\sin{14\alpha}}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

Применим ее к знаменателю: $\sin{14\alpha} = \sin(2 \cdot 7\alpha) = 2\sin{7\alpha}\cos{7\alpha}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{4\cos^2{7\alpha}}{2\sin{7\alpha}\cos{7\alpha}}$.

Сократим дробь на $2\cos{7\alpha}$ (при условии, что $\cos{7\alpha} \neq 0$):

$\frac{2\cos{7\alpha}}{\sin{7\alpha}} = 2\text{ctg}{7\alpha}$.

Ответ: $2\text{ctg}{7\alpha}$.

3) Упростим выражение $\frac{\sin{14\alpha} - \sin{10\alpha}}{\cos{3\alpha} - \cos{7\alpha}}$.

Применим формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

Для числителя используем формулу разности синусов: $\sin{A} - \sin{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$.

$\sin{14\alpha} - \sin{10\alpha} = 2\cos{\frac{14\alpha+10\alpha}{2}}\sin{\frac{14\alpha-10\alpha}{2}} = 2\cos{12\alpha}\sin{2\alpha}$.

Для знаменателя используем формулу разности косинусов: $\cos{A} - \cos{B} = -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$.

$\cos{3\alpha} - \cos{7\alpha} = -2\sin{\frac{3\alpha+7\alpha}{2}}\sin{\frac{3\alpha-7\alpha}{2}} = -2\sin{5\alpha}\sin{(-2\alpha)}$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin{x}$), то $\sin(-2\alpha) = -\sin{2\alpha}$.

Знаменатель равен: $-2\sin{5\alpha}(-\sin{2\alpha}) = 2\sin{5\alpha}\sin{2\alpha}$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{2\cos{12\alpha}\sin{2\alpha}}{2\sin{5\alpha}\sin{2\alpha}}$.

Сократим дробь на $2\sin{2\alpha}$ (при условии, что $\sin{2\alpha} \neq 0$):

$\frac{\cos{12\alpha}}{\sin{5\alpha}}$.

Ответ: $\frac{\cos{12\alpha}}{\sin{5\alpha}}$.

4) Упростим выражение $2\cos{8\alpha}\cos{9\alpha} - \cos{17\alpha}$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $2\cos{A}\cos{B} = \cos(A-B) + \cos(A+B)$.

Применим ее к первому слагаемому, взяв $A=9\alpha$ и $B=8\alpha$:

$2\cos{9\alpha}\cos{8\alpha} = \cos(9\alpha-8\alpha) + \cos(9\alpha+8\alpha) = \cos\alpha + \cos{17\alpha}$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(\cos\alpha + \cos{17\alpha}) - \cos{17\alpha}$.

Упрощая, получаем:

$\cos\alpha + \cos{17\alpha} - \cos{17\alpha} = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2. Дано: $ \text{tg}\alpha = 5 $, $ \text{tg}\beta = 1,5 $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $. Найдите $ \alpha + \beta $.

Для нахождения суммы углов $ \alpha + \beta $ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим в формулу известные значения $ \tg\alpha = 5 $ и $ \tg\beta = 1,5 $:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{5 + 1,5}{1 - 5 \cdot 1,5} = \frac{6,5}{1 - 7,5} = \frac{6,5}{-6,5} = -1 $

Теперь необходимо найти значение $ \alpha + \beta $, зная, что $ \tg(\alpha + \beta) = -1 $. Общее решение этого уравнения имеет вид $ \alpha + \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k $ — целое число.

Чтобы определить конкретное значение суммы, используем ограничения для углов $ \alpha $ и $ \beta $, данные в условии:

$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $

$ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $

Сложив эти два неравенства, мы можем определить интервал, в котором находится сумма $ \alpha + \beta $:

$ 0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} $

$ 0 < \alpha + \beta < \pi $

Теперь выберем такое целое значение $ k $, при котором $ -\frac{\pi}{4} + \pi k $ будет находиться в интервале $ (0, \pi) $.

При $ k = 1 $: $ \alpha + \beta = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $.

Это значение удовлетворяет условию $ 0 < \frac{3\pi}{4} < \pi $. Другие целые значения $ k $ дадут результат, выходящий за пределы этого интервала.

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $

3. Докажите тождество:

1) $ \text{tg } 8\alpha - \text{ctg } 8\alpha = -2 \text{ctg } 16\alpha; $

2) $ \text{ctg } 2\beta - \text{ctg } 4\beta = \frac{1}{\sin 4\beta}; $

3) $ \frac{\left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\alpha\right) - \sin(\pi + 3\alpha) \right) \left( \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3\alpha\right) - \cos(\pi + 5\alpha) \right)}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin 8\alpha. $

1)

Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

$\tg{8\alpha} - \ctg{8\alpha} = \frac{\sin{8\alpha}}{\cos{8\alpha}} - \frac{\cos{8\alpha}}{\sin{8\alpha}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin{8\alpha}\cos{8\alpha}$:

$\frac{\sin^2{8\alpha} - \cos^2{8\alpha}}{\sin{8\alpha}\cos{8\alpha}} = \frac{-(\cos^2{8\alpha} - \sin^2{8\alpha})}{\sin{8\alpha}\cos{8\alpha}}$

Используем формулы двойного угла: $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$ и $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ (отсюда $\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$).

$\frac{-\cos(2 \cdot 8\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 8\alpha)} = \frac{-\cos{16\alpha}}{\frac{1}{2}\sin{16\alpha}} = -2 \frac{\cos{16\alpha}}{\sin{16\alpha}}$

Так как $\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \ctg{x}$, получаем:

$-2\ctg{16\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\tg{8\alpha} - \ctg{8\alpha} = -2\ctg{16\alpha}$ доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества.

$\ctg{2\beta} - \ctg{4\beta} = \frac{\cos{2\beta}}{\sin{2\beta}} - \frac{\cos{4\beta}}{\sin{4\beta}}$

Приведем к общему знаменателю $\sin{2\beta}\sin{4\beta}$:

$\frac{\sin{4\beta}\cos{2\beta} - \cos{4\beta}\sin{2\beta}}{\sin{2\beta}\sin{4\beta}}$

В числителе используем формулу синуса разности углов $\sin(x-y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y}$:

$\frac{\sin(4\beta - 2\beta)}{\sin{2\beta}\sin{4\beta}} = \frac{\sin{2\beta}}{\sin{2\beta}\sin{4\beta}}$

Сокращаем дробь на $\sin{2\beta}$ (при условии, что $\sin{2\beta} \ne 0$):

$\frac{1}{\sin{4\beta}}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\ctg{2\beta} - \ctg{4\beta} = \frac{1}{\sin{4\beta}}$ доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражения в числителе и знаменателе, используя формулы приведения.

Для числителя:
$\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) = \sin{5\alpha}$
$\sin(\pi + 3\alpha) = -\sin{3\alpha}$
$\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) = \cos{3\alpha}$
$\cos(\pi + 5\alpha) = -\cos{5\alpha}$

Для знаменателя:
$\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{(\sin{5\alpha} - (-\sin{3\alpha}))(\cos{3\alpha} - (-\cos{5\alpha}))}{1 + \cos{2\alpha}} = \frac{(\sin{5\alpha} + \sin{3\alpha})(\cos{3\alpha} + \cos{5\alpha})}{1 + \cos{2\alpha}}$

Применим формулы преобразования суммы в произведение:
$\sin{x} + \sin{y} = 2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$
$\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$

Числитель примет вид:
$(2\sin{\frac{5\alpha+3\alpha}{2}}\cos{\frac{5\alpha-3\alpha}{2}})(2\cos{\frac{5\alpha+3\alpha}{2}}\cos{\frac{5\alpha-3\alpha}{2}})$
$= (2\sin{4\alpha}\cos{\alpha})(2\cos{4\alpha}\cos{\alpha}) = 4\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}\cos^2{\alpha}$

Преобразуем знаменатель по формуле понижения степени $1 + \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha}$:

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{4\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}\cos^2{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}}$

Сокращаем $2$ и $\cos^2{\alpha}$:

$2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$:

$2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha} = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin{8\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{(\cos(\frac{\pi}{2} - 5\alpha) - \sin(\pi + 3\alpha))(\sin(\frac{\pi}{2} + 3\alpha) - \cos(\pi + 5\alpha))}{1 + \cos(2\pi - 2\alpha)} = \sin{8\alpha}$ доказано.

4. Найдите значение выражения $\cos12^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ$.

Обозначим данное выражение буквой $A$:

$A = \cos12^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ$

Для решения этой задачи мы будем последовательно применять формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Чтобы использовать эту формулу, домножим и разделим исходное выражение на $2\sin12^\circ$ (это можно сделать, так как $\sin12^\circ \neq 0$):

$A = \frac{(2\sin12^\circ\cos12^\circ) \cdot \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2\sin12^\circ}$

В числителе выражение $2\sin12^\circ\cos12^\circ$ равно $\sin(2 \cdot 12^\circ) = \sin24^\circ$. Подставим это в нашу формулу:

$A = \frac{\sin24^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2\sin12^\circ}$

Теперь в числителе мы видим похожую конструкцию $\sin24^\circ\cos24^\circ$. Чтобы снова применить формулу двойного угла, умножим числитель и знаменатель на 2:

$A = \frac{2 \cdot \sin24^\circ \cos24^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2 \cdot 2\sin12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 24^\circ) \cos48^\circ \cos96^\circ}{4\sin12^\circ} = \frac{\sin48^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{4\sin12^\circ}$

Повторим эту операцию еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:

$A = \frac{2 \cdot \sin48^\circ \cos48^\circ \cos96^\circ}{2 \cdot 4\sin12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 48^\circ) \cos96^\circ}{8\sin12^\circ} = \frac{\sin96^\circ \cos96^\circ}{8\sin12^\circ}$

И в последний раз проделаем то же самое:

$A = \frac{2 \cdot \sin96^\circ \cos96^\circ}{2 \cdot 8\sin12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 96^\circ)}{16\sin12^\circ} = \frac{\sin192^\circ}{16\sin12^\circ}$

Теперь необходимо преобразовать $\sin192^\circ$, используя формулы приведения. Представим $192^\circ$ как $180^\circ + 12^\circ$.

$\sin192^\circ = \sin(180^\circ + 12^\circ) = -\sin12^\circ$

Подставим полученное значение обратно в выражение для $A$:

$A = \frac{-\sin12^\circ}{16\sin12^\circ}$

Сократим $\sin12^\circ$ в числителе и знаменателе:

$A = -\frac{1}{16}$

Ответ: $-\frac{1}{16}$

5. Упростите выражение $\sqrt{4 - 4\sin2\alpha} - \sqrt{2 + 2\cos2\alpha}$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Для упрощения данного выражения преобразуем каждое подкоренное выражение отдельно, используя тригонометрические формулы.

1. Упростим первое слагаемое: $\sqrt{4 - 4\sin(2\alpha)}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки под корнем:

$\sqrt{4(1 - \sin(2\alpha))} = 2\sqrt{1 - \sin(2\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$2\sqrt{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}$

Выражение под корнем является полным квадратом разности $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2$:

$2\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2}$

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$2|\sin\alpha - \cos\alpha|$

2. Упростим второе слагаемое: $\sqrt{2 + 2\cos(2\alpha)}$

Вынесем общий множитель 2 за скобки под корнем:

$\sqrt{2(1 + \cos(2\alpha))}$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$:

$\sqrt{2 \cdot 2\cos^2\alpha} = \sqrt{4\cos^2\alpha}$

Извлекая корень, получаем:

$2|\cos\alpha|$

3. Соберем выражение и учтем условие.

Исходное выражение принимает вид:

$2|\sin\alpha - \cos\alpha| - 2|\cos\alpha|$

По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это IV четверть координатной плоскости.

В IV четверти:

• $\sin\alpha < 0$ (синус отрицателен)
• $\cos\alpha > 0$ (косинус положителен)

Определим знаки выражений под модулями:

1. Для $|\cos\alpha|$: так как $\cos\alpha > 0$, то $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

2. Для $|\sin\alpha - \cos\alpha|$: мы вычитаем положительное число из отрицательного, результат будет отрицательным. То есть, $\sin\alpha - \cos\alpha < 0$. Следовательно, $|\sin\alpha - \cos\alpha| = -(\sin\alpha - \cos\alpha) = \cos\alpha - \sin\alpha$.

Подставим раскрытые модули в наше выражение:

$2(\cos\alpha - \sin\alpha) - 2(\cos\alpha)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\cos\alpha - 2\sin\alpha - 2\cos\alpha = -2\sin\alpha$

Ответ: $-2\sin\alpha$.