Страница 112 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Тригонометрические уравнения и неравенства

1. Решите уравнение:

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$;

2) $3\sin^2 3x - 2.5\sin 6x + 1 = 0$;

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$;

4) $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$;

5) $\sin 6x + \sqrt{3}\cos 6x = -2\cos 8x$.

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(1 - \sin^2 x) + 4\sin x - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - 4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0$

$-4\sin^2 x + 4\sin x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$4t^2 - 4t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Первый корень $t_1 = \frac{3}{2} = 1.5$. Уравнение $\sin x = 1.5$ не имеет решений, так как $1.5 > 1$.

Второй корень $t_2 = -\frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет решения:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2 3x - 2,5\sin 6x + 1 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$.

Подставим в уравнение:

$3\sin^2 3x - 2,5(2\sin 3x \cos 3x) + 1 = 0$

$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + 1 = 0$

Заменим $1$ на $\sin^2 3x + \cos^2 3x$ согласно основному тригонометрическому тождеству:

$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + (\sin^2 3x + \cos^2 3x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + \cos^2 3x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $\cos 3x = 0$. Если $\cos 3x = 0$, то $\sin^2 3x = 1$. Подставив в уравнение, получим $4 \cdot 1 - 5 \cdot 0 + 0 = 0$, то есть $4=0$, что неверно. Значит, $\cos 3x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 3x$.

$\frac{4\sin^2 3x}{\cos^2 3x} - \frac{5\sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$

$4\tan^2 3x - 5\tan 3x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan 3x$:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5+3}{8} = 1$, $t_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tan 3x = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 3x = \frac{1}{4} \implies 3x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, x = \frac{1}{3}\arctan\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin 9x + \sin 7x) + \sin 8x = 0$

$2\sin\frac{9x+7x}{2}\cos\frac{9x-7x}{2} + \sin 8x = 0$

$2\sin 8x \cos x + \sin 8x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 8x$ за скобки:

$\sin 8x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $\sin 8x = 0 \implies 8x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}, x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$1 + \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq -1 \implies x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} = -2\cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{2\sin x \cos x}{1 + \sin x} + 2\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x \left( \frac{\sin x}{1 + \sin x} + 1 \right) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ. Если $n$ четное ($n=2k$), то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = 1$, что удовлетворяет ОДЗ. Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = -1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, из этой серии подходит только $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

2. $\frac{\sin x}{1 + \sin x} + 1 = 0$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin x + (1+\sin x)}{1 + \sin x} = 0 \implies \frac{2\sin x + 1}{1 + \sin x} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что уже учтено в ОДЗ).

$2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin 6x + \sqrt{3}\cos 6x = -2\cos 8x$

Преобразуем левую часть уравнения методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha+\varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае $a=1, b=\sqrt{3}$. Тогда $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем 2 за скобки в левой части:

$2\left(\frac{1}{2}\sin 6x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 6x\right) = -2\cos 8x$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$.

$2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin 6x + \sin\frac{\pi}{3}\cos 6x\right) = -2\cos 8x$

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$:

$2\sin(6x + \frac{\pi}{3}) = -2\cos 8x$

Разделим обе части на 2:

$\sin(6x + \frac{\pi}{3}) = -\cos 8x$

Используем формулу приведения $-\cos \alpha = \sin(\alpha - \frac{\pi}{2})$:

$\sin(6x + \frac{\pi}{3}) = \sin(8x - \frac{\pi}{2})$

Уравнение вида $\sin A = \sin B$ равносильно совокупности двух систем:

$A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$.

1. $6x + \frac{\pi}{3} = 8x - \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = 8x - 6x + 2\pi k$

$\frac{5\pi}{6} = 2x + 2\pi k$

$2x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi k$

$x = \frac{5\pi}{12} - \pi k$. Так как $k$ — любое целое число, можно заменить $-k$ на $k$: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $6x + \frac{\pi}{3} = \pi - (8x - \frac{\pi}{2}) + 2\pi n$

$6x + \frac{\pi}{3} = \pi - 8x + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$14x = \pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$14x = \frac{6\pi+3\pi-2\pi}{6} + 2\pi n$

$14x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{7\pi}{6 \cdot 14} + \frac{2\pi n}{14} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{7}, k, n \in \mathbb{Z}$.

2. Решите неравенство:

1) $ \text{ctg} \left( 7x + \frac{2\pi}{3} \right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}; $

2) $ \sin x(\text{tg} x - 1) > 0. $

1)

Решим неравенство $ctg\left(7x + \frac{2\pi}{3}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда неравенство примет вид:

$ctg(t) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция котангенс $y = ctg(t)$ является убывающей на всей области определения. Её период равен $\pi$.

Найдем значение арккотангенса от правой части неравенства:

$arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

Решение неравенства вида $ctg(t) > a$ находится в интервале $\pi n < t < arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставив наше значение, получим:

$\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 7x + \frac{2\pi}{3}$:

$\pi n < 7x + \frac{2\pi}{3} < \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей двойного неравенства:

$\pi n - \frac{2\pi}{3} < 7x < \pi n$.

Разделим все части неравенства на 7:

$\frac{\pi n}{7} - \frac{2\pi}{21} < x < \frac{\pi n}{7}$.

Таким образом, решение неравенства представляет собой объединение интервалов.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi n}{7} - \frac{2\pi}{21}; \frac{\pi n}{7}\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin x(\tg x - 1) > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим задачу методом интервалов на тригонометрической окружности. Найдем нули и точки разрыва функции $f(x) = \sin x(\tg x - 1)$ на промежутке $[0, 2\pi)$.

Нули функции находим из уравнений $\sin x = 0$ и $\tg x - 1 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = 0$ и $x = \pi$. Из второго ($\tg x = 1$) получаем $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$.

Точки разрыва (где $\tg x$ не определен) соответствуют условию $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

Отметим эти точки на единичной окружности. Они разбивают окружность на интервалы. Определим знак выражения $f(x)$ на каждом из них:
- На интервале $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$: $\sin x > 0$, $\tg x < 1 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(+)(-) < 0$.
- На интервале $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$: $\sin x > 0$, $\tg x > 1 \implies \tg x - 1 > 0$. Произведение $(+)(+) > 0$. Интервал подходит.
- На интервале $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$: $\sin x > 0$, $\tg x < 0 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(+)(-) < 0$.
- На интервале $\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$: $\sin x < 0$, $0 < \tg x < 1 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(-)(-) > 0$. Интервал подходит.
- На интервале $\left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)$: $\sin x < 0$, $\tg x > 1 \implies \tg x - 1 > 0$. Произведение $(-)(+) < 0$.
- На интервале $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$: $\sin x < 0$, $\tg x < 0 \implies \tg x - 1 < 0$. Произведение $(-)(-) > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, на промежутке $[0, 2\pi)$ решениями являются интервалы $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$, $\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$ и $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$.

Учитывая периодичность тригонометрических функций (общий период $2\pi$), записываем общее решение:

$x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \cup \left(\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Вычислите $\arccos(\cos12)$.

По определению, значение $arccos(y)$ — это угол $α$, который принадлежит промежутку $[0; π]$, и косинус которого равен $y$.

Формально это можно записать так: $α = arccos(y) \iff \cos(α) = y$ и $0 \le α \le π$.

В нашем случае необходимо найти $arccos(\cos(12))$. Если бы число 12 принадлежало промежутку $[0; π]$, то ответ был бы 12. Однако, используя приближенное значение $π \approx 3,14$, мы видим, что отрезок $[0; π]$ примерно равен $[0; 3,14]$. Число 12 в этот отрезок не входит.

Следовательно, нам нужно найти такое число $α$, что выполняются два условия:
1) $\cos(α) = \cos(12)$
2) $0 \le α \le π$

Для нахождения такого $α$ воспользуемся свойствами функции косинус:
- Четность: $\cos(x) = \cos(-x)$
- Периодичность: $\cos(x) = \cos(x + 2πn)$, где $n$ — любое целое число.

Из этих свойств следует, что все углы, имеющие такой же косинус, как и у угла 12, можно найти по формулам:
$α = 12 + 2πn$ или $α = -12 + 2πn$.

Теперь нам нужно подобрать такое целое число $n$, чтобы значение $α$ попало в отрезок $[0; π]$.

1. Проверим первую серию решений: $α = 12 + 2πn$
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $0 \le 12 + 2πn \le π$.
$-12 \le 2πn \le π - 12$
$\frac{-12}{2π} \le n \le \frac{π - 12}{2π}$
$-\frac{6}{π} \le n \le \frac{1}{2} - \frac{6}{π}$
Так как $π \approx 3,14$, то $6/π \approx 1,91$.
$-1,91 \le n \le 0,5 - 1,91$
$-1,91 \le n \le -1,41$
В этом промежутке нет целых чисел $n$, поэтому в этой серии решений нет подходящего угла $α$.

2. Проверим вторую серию решений: $α = -12 + 2πn$
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $0 \le -12 + 2πn \le π$.
$12 \le 2πn \le π + 12$
$\frac{12}{2π} \le n \le \frac{π + 12}{2π}$
$\frac{6}{π} \le n \le \frac{1}{2} + \frac{6}{π}$
Используя $6/π \approx 1,91$:
$1,91 \le n \le 0,5 + 1,91$
$1,91 \le n \le 2,41$
Единственное целое число $n$, которое удовлетворяет этому неравенству, это $n = 2$.

Подставим $n=2$ в формулу $α = -12 + 2πn$:
$α = -12 + 2π(2) = 4π - 12$.

Проверим, действительно ли значение $4π - 12$ принадлежит отрезку $[0; π]$:
$4π - 12 \approx 4 \cdot 3,1416 - 12 = 12,5664 - 12 = 0,5664$.
Так как $0 \le 0,5664 \le 3,1416$, то значение $4π - 12$ действительно находится в нужном промежутке.

Таким образом, $arccos(cos(12)) = 4π - 12$.

Ответ: $4π - 12$

4. При каких значениях параметра $ a $ уравнение $ \sin^2 x - (a + 3)\sin x + 2a + 2 = 0 $ имеет решения?

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус – отрезок $[-1, 1]$, то для существования решений исходного уравнения необходимо, чтобы полученное квадратное уравнение имело хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $[-1, 1]$.

После замены получаем квадратное уравнение:

$t^2 - (a + 3)t + 2a + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-(a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 2) = a^2 + 6a + 9 - 8a - 8 = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$

Поскольку $D = (a - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем эти корни:

$t_{1,2} = \frac{a + 3 \pm \sqrt{(a - 1)^2}}{2} = \frac{a + 3 \pm (a - 1)}{2}$

Вычислим оба корня:

$t_1 = \frac{a + 3 + (a - 1)}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1$

$t_2 = \frac{a + 3 - (a - 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, корнями квадратного уравнения являются $t_1 = a + 1$ и $t_2 = 2$.

Исходное уравнение имеет решения, если хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Корень $t_2 = 2$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $2 > 1$. Следовательно, уравнение $\sin x = 2$ не имеет решений.

Значит, исходное уравнение будет иметь решения только в том случае, если корень $t_1 = a + 1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это приводит к двойному неравенству:

$-1 \le a + 1 \le 1$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1 - 1 \le a \le 1 - 1$

$-2 \le a \le 0$

Следовательно, уравнение имеет решения при $a \in [-2, 0]$.

Ответ: $a \in [-2, 0]$.