Страница 113 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8

Производная. Уравнение касательной

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4;$

2) $f(x) = (3x - 5)\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 + 9x}{x - 4};$

4) $f(x) = \sin^5 6x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4$ воспользуемся правилами дифференцирования суммы/разности функций и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных:

$f'(x) = (2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4)' = (2x^5)' - (\frac{x^3}{3})' + (3x^2)' - (4)'$

Теперь находим производную каждого слагаемого:

$(2x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$

$(\frac{x^3}{3})' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2$

$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$

$(4)' = 0$ (производная константы равна нулю).

Собираем все вместе:

$f'(x) = 10x^4 - x^2 + 6x - 0 = 10x^4 - x^2 + 6x$

Ответ: $10x^4 - x^2 + 6x$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = (3x-5)\sqrt{x}$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x - 5$ и $v(x) = \sqrt{x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3x-5)' = 3$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3 \cdot \sqrt{x} + (3x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Упростим полученное выражение, приведя слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3x-5}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 3x - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{9x-5}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{9x-5}{2\sqrt{x}}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2+9x}{x-4}$ воспользуемся правилом производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^2+9x$ и $v(x) = x-4$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2+9x)' = 2x+9$

$v'(x) = (x-4)' = 1$

Теперь подставим все в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{(2x+9)(x-4) - (x^2+9x) \cdot 1}{(x-4)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(2x+9)(x-4) - (x^2+9x) = (2x^2 - 8x + 9x - 36) - x^2 - 9x = 2x^2 + x - 36 - x^2 - 9x = x^2 - 8x - 36$

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = \frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin^5 6x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).

Функцию можно представить в виде $f(x) = (\sin 6x)^5$. Это сложная функция, где внешняя функция — возведение в пятую степень, а внутренняя — $\sin 6x$, которая сама является сложной функцией.

Применим цепное правило $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

1. Производная внешней функции $(u^5)' = 5u^4$. Применительно к нашей функции: $5(\sin 6x)^4 = 5\sin^4 6x$.

2. Умножаем на производную внутренней функции $(\sin 6x)'$.

Производная $(\sin 6x)'$ также находится по цепному правилу: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

$(\sin 6x)' = \cos 6x \cdot (6x)' = \cos 6x \cdot 6 = 6\cos 6x$.

3. Собираем все вместе:

$f'(x) = 5\sin^4 6x \cdot (6\cos 6x) = 30\sin^4 6x \cos 6x$

Ответ: $30\sin^4 6x \cos 6x$.

2. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^4 - 2x$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нахождения уравнения касательной нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке $x_0$.

По условию, нам дана функция $f(x) = x^4 - 2x$ и точка касания с абсциссой $x_0 = -1$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(-1) = (-1)^4 - 2(-1) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; 3)$.

2. Найти производную функции $f(x)$.

Производная функции $f(x) = x^4 - 2x$ находится по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (x^4)' - (2x)' = 4x^3 - 2$.

3. Найти значение производной в точке $x_0$.

Значение производной в точке касания $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (наклону) касательной.

Вычислим $f'(-1)$:

$f'(x_0) = f'(-1) = 4(-1)^3 - 2 = 4(-1) - 2 = -4 - 2 = -6$.

4. Подставить найденные значения в уравнение касательной.

Мы нашли все необходимые компоненты:

• $x_0 = -1$
• $f(x_0) = 3$
• $f'(x_0) = -6$

Подставим эти значения в общую формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 3 + (-6)(x - (-1))$

Теперь упростим полученное выражение:

$y = 3 - 6(x + 1)$

$y = 3 - 6x - 6$

$y = -6x - 3$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $y = -6x - 3$.

3. Материальная точка движется по координатной прямой

по закону $s(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2.5t^2 + 24t + 7$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $s$ — в метрах). Найдите скорость движения в момент времени $t_0 = 3$.

По условию, материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2,5t^2 + 24t + 7$, где $t$ — время в секундах, а $s(t)$ — перемещение в метрах.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Найдем производную функции $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = \left(-\frac{1}{3}t^3 + 2,5t^2 + 24t + 7\right)'$
Используя правила дифференцирования, получим:
$v(t) = -\frac{1}{3} \cdot (3t^2) + 2,5 \cdot (2t) + 24 \cdot (1) + 0$
$v(t) = -t^2 + 5t + 24$

Теперь найдем скорость движения в момент времени $t_0 = 3$. Для этого подставим значение $t = 3$ в полученное выражение для скорости $v(t)$:
$v(3) = -(3)^2 + 5 \cdot 3 + 24$
$v(3) = -9 + 15 + 24$
$v(3) = 6 + 24$
$v(3) = 30$

Таким образом, скорость движения материальной точки в момент времени $t_0 = 3$ составляет 30 м/с.

Ответ: 30 м/с.

4. Найдите производную функции $y = x^2 - |x - 2|$ в точках

$x = 1$ и $x = 3$.

Для нахождения производной функции $y = x^2 - |x - 2|$, необходимо сначала раскрыть модуль. Выражение под модулем, $x - 2$, меняет знак в точке $x = 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 2$, то $|x - 2| = x - 2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - (x - 2) = x^2 - x + 2$

2. Если $x < 2$, то $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - (-x + 2) = x^2 + x - 2$

Таким образом, мы имеем кусочно-заданную функцию:

$y(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2, & \text{при } x < 2 \\ x^2 - x + 2, & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого из интервалов:

$y'(x) = \begin{cases} (x^2 + x - 2)' = 2x + 1, & \text{при } x < 2 \\ (x^2 - x + 2)' = 2x - 1, & \text{при } x > 2 \end{cases}$

Теперь мы можем вычислить значение производной в заданных точках.

в точке x = 1

Так как $1 < 2$, мы используем формулу для производной на интервале $x < 2$, то есть $y'(x) = 2x + 1$.

Подставляем $x = 1$:

$y'(1) = 2(1) + 1 = 3$

Ответ: $3$

в точке x = 3

Так как $3 > 2$, мы используем формулу для производной на интервале $x > 2$, то есть $y'(x) = 2x - 1$.

Подставляем $x = 3$:

$y'(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

Ответ: $5$

5. Найдите абсциссу точки графика функции $f(x) = x^2 + x\sqrt{3}$, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $150^\circ$.

Геометрический смысл производной функции в точке $x_0$ состоит в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, мы можем записать равенство: $f'(x_0) = k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол $\alpha = 150^\circ$. Найдем угловой коэффициент касательной:
$k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Дана функция $f(x) = x^2 + x\sqrt{3}$. Найдем её производную:
$f'(x) = (x^2 + x\sqrt{3})' = (x^2)' + (x\sqrt{3})' = 2x + \sqrt{3}$.

Теперь, чтобы найти искомую абсциссу $x_0$, приравняем значение производной в этой точке к вычисленному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = 2x_0 + \sqrt{3}$
$2x_0 + \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Решим полученное уравнение:
$2x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$
$2x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}$
$2x_0 = -\frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{3}$
$2x_0 = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$x_0 = -\frac{4\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$
$x_0 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

6. В какой точке графика функции $y = \frac{1}{x-1}$ надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами $(3; 0)$?

Для решения задачи найдем уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = \frac{1}{x-1}$ в некоторой точке $M(x_0; y_0)$.

Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \frac{1}{x_0 - 1}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x-1}\right)' = \left((x-1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = -\frac{1}{(x_0 - 1)^2}$.

4. Подставим найденные значения в общее уравнение касательной:
$y = \frac{1}{x_0 - 1} - \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0)$.

По условию задачи, касательная должна проходить через точку с координатами $(3; 0)$. Это означает, что при подстановке $x = 3$ и $y = 0$ в уравнение касательной мы должны получить верное равенство. Подставим эти значения:
$0 = \frac{1}{x_0 - 1} - \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(3 - x_0)$.

Теперь решим это уравнение относительно $x_0$. Заметим, что $x_0 \neq 1$.
$\frac{1}{(x_0 - 1)^2}(3 - x_0) = \frac{1}{x_0 - 1}$.
Умножим обе части уравнения на $(x_0 - 1)^2$:
$3 - x_0 = x_0 - 1$.
$4 = 2x_0$.
$x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = f(x_0) = \frac{1}{2 - 1} = 1$.

Следовательно, искомая точка на графике функции, в которой нужно провести касательную, имеет координаты $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.