Номер 4, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Докажите тождество

$(\frac{\sin 8\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 8\alpha}{\cos 5\alpha}) \cdot \frac{\sin 6\alpha + \sin 14\alpha}{\sin 3\alpha} = 4\cos 4\alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (Л.ч.).

Л.ч. = $(\frac{\sin(8\alpha)}{\sin(5\alpha)} - \frac{\cos(8\alpha)}{\cos(5\alpha)}) \cdot \frac{\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

1. Преобразуем выражение в скобках.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)$:

$\frac{\sin(8\alpha)}{\sin(5\alpha)} - \frac{\cos(8\alpha)}{\cos(5\alpha)} = \frac{\sin(8\alpha)\cos(5\alpha) - \cos(8\alpha)\sin(5\alpha)}{\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)}$

В числителе используем формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$:

$\sin(8\alpha)\cos(5\alpha) - \cos(8\alpha)\sin(5\alpha) = \sin(8\alpha - 5\alpha) = \sin(3\alpha)$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, из которой следует, что $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$:

$\sin(5\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(10\alpha)$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{\sin(3\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(10\alpha)} = \frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)}$

2. Преобразуем второй множитель.

Второй множитель: $\frac{\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

К числителю применим формулу суммы синусов $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$:

$\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha) = \sin(14\alpha) + \sin(6\alpha) = 2\sin(\frac{14\alpha+6\alpha}{2})\cos(\frac{14\alpha-6\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{20\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)$

Таким образом, второй множитель равен:

$\frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

3. Перемножим полученные выражения.

Подставим преобразованные части в исходное выражение:

Л.ч. = $\frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)} \cdot \frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

Сократим одинаковые множители $\sin(3\alpha)$ и $\sin(10\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю):

Л.ч. = $\frac{2\cdot 2 \cdot \sin(3\alpha) \cdot \sin(10\alpha) \cdot \cos(4\alpha)}{\sin(10\alpha) \cdot \sin(3\alpha)} = 4\cos(4\alpha)$

Мы получили, что левая часть тождества равна $4\cos(4\alpha)$, что совпадает с его правой частью.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.