Страница 121 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы сложения и их следствия

1. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \operatorname{tg} 11\alpha \operatorname{ctg} 11\alpha;$

2) $\frac{6\sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha};$

3) $\frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha};$

4) $2\sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha.$

1)

Упростим выражение $ \frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} - \tan 11\alpha \cdot \cot 11\alpha $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Из него следуют два равенства:

$ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $

$ \cos^2 x - 1 = -(1 - \cos^2 x) = -\sin^2 x $

Применим эти равенства к первой дроби, подставив $ x = 8\alpha $:

$ \frac{1 - \sin^2 8\alpha}{\cos^2 8\alpha - 1} = \frac{\cos^2 8\alpha}{-\sin^2 8\alpha} = -\cot^2 8\alpha $

Теперь рассмотрим вторую часть выражения. Используем тождество $ \tan x \cdot \cot x = 1 $:

$ \tan 11\alpha \cdot \cot 11\alpha = 1 $

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$ -\cot^2 8\alpha - 1 = -(\cot^2 8\alpha + 1) $

Используем еще одно тригонометрическое тождество $ 1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} $:

$ -(\cot^2 8\alpha + 1) = -\frac{1}{\sin^2 8\alpha} $

Ответ: $ -\frac{1}{\sin^2 8\alpha} $

2)

Упростим выражение $ \frac{6\sin^2 10\alpha}{\sin 20\alpha} $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ к знаменателю, где $ x = 10\alpha $:

$ \sin 20\alpha = \sin(2 \cdot 10\alpha) = 2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha $

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{6\sin^2 10\alpha}{2 \sin 10\alpha \cos 10\alpha} $

Сократим дробь на $ 2 \sin 10\alpha $ (при условии, что $ \sin 10\alpha \neq 0 $):

$ \frac{3 \sin 10\alpha}{\cos 10\alpha} $

Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:

$ 3 \tan 10\alpha $

Ответ: $ 3 \tan 10\alpha $

3)

Упростим выражение $ \frac{\sin 12\alpha + \sin 8\alpha}{\cos 11\alpha + \cos 7\alpha} $.

Для преобразования числителя используем формулу суммы синусов:

$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $

$ \sin 12\alpha + \sin 8\alpha = 2 \sin\left(\frac{12\alpha+8\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{12\alpha-8\alpha}{2}\right) = 2 \sin(10\alpha) \cos(2\alpha) $

Для преобразования знаменателя используем формулу суммы косинусов:

$ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $

$ \cos 11\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\left(\frac{11\alpha+7\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{11\alpha-7\alpha}{2}\right) = 2 \cos(9\alpha) \cos(2\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2 \sin(10\alpha) \cos(2\alpha)}{2 \cos(9\alpha) \cos(2\alpha)} $

Сократим дробь на $ 2 \cos(2\alpha) $ (при условии, что $ \cos(2\alpha) \neq 0 $):

$ \frac{\sin(10\alpha)}{\cos(9\alpha)} $

Ответ: $ \frac{\sin(10\alpha)}{\cos(9\alpha)} $

4)

Упростим выражение $ 2\sin 11\alpha \cos 5\alpha - \sin 6\alpha $.

Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используем формулу:

$ 2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $

Применим ее к первому члену выражения, где $ A = 11\alpha $ и $ B = 5\alpha $:

$ 2\sin 11\alpha \cos 5\alpha = \sin(11\alpha + 5\alpha) + \sin(11\alpha - 5\alpha) = \sin(16\alpha) + \sin(6\alpha) $

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ (\sin(16\alpha) + \sin(6\alpha)) - \sin 6\alpha $

Упрощаем, сокращая $ \sin 6\alpha $ и $ -\sin 6\alpha $:

$ \sin 16\alpha $

Ответ: $ \sin 16\alpha $

2. Дано: $tg \alpha = 1,25$, $tg \beta = 9$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\alpha + \beta$.

Для нахождения суммы $\alpha + \beta$ воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta}$

По условию задачи даны значения $\tg\alpha = 1,25$ и $\tg\beta = 9$. Для удобства вычислений представим $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

Подставим числовые значения в формулу:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{4} + 9}{1 - \frac{5}{4} \cdot 9} = \frac{\frac{5}{4} + \frac{36}{4}}{1 - \frac{45}{4}} = \frac{\frac{41}{4}}{\frac{4 - 45}{4}} = \frac{\frac{41}{4}}{-\frac{41}{4}} = -1$

Теперь необходимо определить, в какой четверти лежит угол $\alpha + \beta$. Из условия известно, что:

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$

Сложив эти неравенства, получим диапазон для суммы углов:

$0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 < \alpha + \beta < \pi$

Таким образом, угол $\alpha + \beta$ находится в первой или второй координатной четверти. Поскольку мы получили, что тангенс этой суммы $\tg(\alpha + \beta) = -1$ (отрицательное значение), то угол $\alpha + \beta$ может находиться только во второй четверти.

Угол, тангенс которого равен $-1$, в общем виде записывается как $\frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число. Учитывая, что $0 < \alpha + \beta < \pi$, единственным подходящим решением является угол $\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

3. Докажите тождество:

1) $ctg7\alpha - tg7\alpha = 2ctg14\alpha$;

2) $1 + tg5\beta tg10\beta = \frac{1}{\cos10\beta}$;

3) $\frac{(\cos(2\pi + 6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) - \sin(\pi - 6\alpha))}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)} = \sin14\alpha.$

1) Докажем тождество $ \text{ctg}7\alpha - \text{tg}7\alpha = 2\text{ctg}14\alpha $.
Преобразуем левую часть тождества. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:
$ \text{ctg}7\alpha - \text{tg}7\alpha = \frac{\cos7\alpha}{\sin7\alpha} - \frac{\sin7\alpha}{\cos7\alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\cos^27\alpha - \sin^27\alpha}{\sin7\alpha \cos7\alpha} $
В числителе применим формулу косинуса двойного угла $ \cos2x = \cos^2x - \sin^2x $. Получим $ \cos(2 \cdot 7\alpha) = \cos14\alpha $.
В знаменателе применим формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin2x $. Получим $ \sin7\alpha \cos7\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 7\alpha) = \frac{1}{2}\sin14\alpha $.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{\cos14\alpha}{\frac{1}{2}\sin14\alpha} = 2\frac{\cos14\alpha}{\sin14\alpha} $
Используя определение котангенса $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $, окончательно получаем:
$ 2\text{ctg}14\alpha $
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $ \text{ctg}7\alpha - \text{tg}7\alpha = 2\text{ctg}14\alpha $.

2) Докажем тождество $ 1 + \text{tg}5\beta \text{tg}10\beta = \frac{1}{\cos10\beta} $.
Преобразуем левую часть тождества. Выразим тангенсы через синус и косинус:
$ 1 + \text{tg}5\beta \text{tg}10\beta = 1 + \frac{\sin5\beta}{\cos5\beta} \cdot \frac{\sin10\beta}{\cos10\beta} $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{\cos5\beta \cos10\beta + \sin5\beta \sin10\beta}{\cos5\beta \cos10\beta} $
В числителе узнаем формулу косинуса разности $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Применим эту формулу для $ A=10\beta $ и $ B=5\beta $:
$ \frac{\cos(10\beta - 5\beta)}{\cos5\beta \cos10\beta} = \frac{\cos5\beta}{\cos5\beta \cos10\beta} $
Сократим дробь на $ \cos5\beta $ (при условии, что $ \cos5\beta \neq 0 $):
$ \frac{1}{\cos10\beta} $
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $ 1 + \text{tg}5\beta\text{tg}10\beta = \frac{1}{\cos10\beta} $.

3) Докажем тождество $ \frac{(\cos(2\pi+6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}-8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2}+8\alpha) - \sin(\pi-6\alpha))}{1+\sin(\frac{3\pi}{2}-2\alpha)} = \sin14\alpha $.
Преобразуем левую часть, упрощая тригонометрические функции с помощью формул приведения.
Упростим числитель:
Первая скобка: $ \cos(2\pi+6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}-8\alpha) = \cos6\alpha - \cos8\alpha $.
Вторая скобка: $ \cos(\frac{3\pi}{2}+8\alpha) - \sin(\pi-6\alpha) = \sin8\alpha - \sin6\alpha $.
Упростим знаменатель:
$ 1 + \sin(\frac{3\pi}{2}-2\alpha) = 1 + (-\cos2\alpha) = 1 - \cos2\alpha $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{(\cos6\alpha - \cos8\alpha)(\sin8\alpha - \sin6\alpha)}{1 - \cos2\alpha} $
Теперь применим формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение:
$ \cos6\alpha - \cos8\alpha = -2\sin(\frac{6\alpha+8\alpha}{2})\sin(\frac{6\alpha-8\alpha}{2}) = -2\sin7\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin7\alpha\sin\alpha $.
$ \sin8\alpha - \sin6\alpha = 2\cos(\frac{8\alpha+6\alpha}{2})\sin(\frac{8\alpha-6\alpha}{2}) = 2\cos7\alpha\sin\alpha $.
Числитель равен произведению этих выражений: $ (2\sin7\alpha\sin\alpha)(2\cos7\alpha\sin\alpha) = 4\sin7\alpha\cos7\alpha\sin^2\alpha $.
В знаменателе используем формулу двойного угла: $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{4\sin7\alpha\cos7\alpha\sin^2\alpha}{2\sin^2\alpha} $
Сократим дробь на $ 2\sin^2\alpha $ (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $):
$ 2\sin7\alpha\cos7\alpha $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $:
$ \sin(2 \cdot 7\alpha) = \sin14\alpha $
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $ \frac{(\cos(2\pi+6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}-8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2}+8\alpha) - \sin(\pi-6\alpha))}{1+\sin(\frac{3\pi}{2}-2\alpha)} = \sin14\alpha $.

4. Найдите значение выражения: $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

Для нахождения значения выражения $\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Домножим и разделим исходное выражение на $2\sin20^\circ$ (это возможно, так как $\sin20^\circ \neq 0$):

$\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ = \frac{2\sin20^\circ\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2\sin20^\circ}$

В числителе свернем произведение $2\sin20^\circ\cos20^\circ$ по формуле синуса двойного угла. Получим $\sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin40^\circ$.

Выражение примет вид:

$\frac{\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2\sin20^\circ}$

Снова применим тот же прием: домножим и разделим на 2, чтобы опять использовать формулу синуса двойного угла в числителе:

$\frac{2\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2 \cdot 2\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ)\cos80^\circ}{4\sin20^\circ} = \frac{\sin80^\circ\cos80^\circ}{4\sin20^\circ}$

Повторим операцию еще раз:

$\frac{2\sin80^\circ\cos80^\circ}{2 \cdot 4\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin20^\circ} = \frac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

$\sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ$

Подставим это значение обратно в выражение:

$\frac{\sin20^\circ}{8\sin20^\circ}$

Сокращаем $\sin20^\circ$ в числителе и знаменателе, получая конечный результат.

$\frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

5. Упростите выражение: $\sqrt{4-4\sin2\alpha} - \sqrt{2-2\cos2\alpha}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Для упрощения выражения $\sqrt{4 - 4\sin2\alpha} - \sqrt{2 - 2\cos2\alpha}$ преобразуем каждый член по отдельности, используя тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем первый корень: $\sqrt{4 - 4\sin2\alpha}$. Вынесем 4 за скобку под корнем: $\sqrt{4(1 - \sin2\alpha)} = 2\sqrt{1 - \sin2\alpha}$. Используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем выражение под корнем в виде полного квадрата разности:
$2\sqrt{\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha} = 2\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = 2|\sin\alpha - \cos\alpha|$.

Теперь преобразуем второй корень: $\sqrt{2 - 2\cos2\alpha}$. Вынесем 2 за скобку: $\sqrt{2(1 - \cos2\alpha)}$. Используя формулу косинуса двойного угла $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$, получаем:
$\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2|\sin\alpha|$.

Таким образом, исходное выражение равно $2|\sin\alpha - \cos\alpha| - 2|\sin\alpha|$.

Далее необходимо раскрыть модули, учитывая условие $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$).

Поскольку $\sin\alpha > 0$, то $|\sin\alpha| = \sin\alpha$.

Для определения знака выражения $\sin\alpha - \cos\alpha$ заметим, что мы вычитаем отрицательное число ($\cos\alpha$) из положительного ($\sin\alpha$), что всегда дает положительный результат. Следовательно, $\sin\alpha - \cos\alpha > 0$, и $|\sin\alpha - \cos\alpha| = \sin\alpha - \cos\alpha$.

Подставим полученные выражения обратно в упрощенное выражение:
$2(\sin\alpha - \cos\alpha) - 2\sin\alpha = 2\sin\alpha - 2\cos\alpha - 2\sin\alpha = -2\cos\alpha$.

Ответ: $-2\cos\alpha$.