Номер 3, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Докажите тождество:

1) $ctg7\alpha - tg7\alpha = 2ctg14\alpha$;

2) $1 + tg5\beta tg10\beta = \frac{1}{\cos10\beta}$;

3) $\frac{(\cos(2\pi + 6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) - \sin(\pi - 6\alpha))}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)} = \sin14\alpha.$

1) Докажем тождество $ \text{ctg}7\alpha - \text{tg}7\alpha = 2\text{ctg}14\alpha $.
Преобразуем левую часть тождества. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:
$ \text{ctg}7\alpha - \text{tg}7\alpha = \frac{\cos7\alpha}{\sin7\alpha} - \frac{\sin7\alpha}{\cos7\alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\cos^27\alpha - \sin^27\alpha}{\sin7\alpha \cos7\alpha} $
В числителе применим формулу косинуса двойного угла $ \cos2x = \cos^2x - \sin^2x $. Получим $ \cos(2 \cdot 7\alpha) = \cos14\alpha $.
В знаменателе применим формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin2x $. Получим $ \sin7\alpha \cos7\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 7\alpha) = \frac{1}{2}\sin14\alpha $.
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$ \frac{\cos14\alpha}{\frac{1}{2}\sin14\alpha} = 2\frac{\cos14\alpha}{\sin14\alpha} $
Используя определение котангенса $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $, окончательно получаем:
$ 2\text{ctg}14\alpha $
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $ \text{ctg}7\alpha - \text{tg}7\alpha = 2\text{ctg}14\alpha $.

2) Докажем тождество $ 1 + \text{tg}5\beta \text{tg}10\beta = \frac{1}{\cos10\beta} $.
Преобразуем левую часть тождества. Выразим тангенсы через синус и косинус:
$ 1 + \text{tg}5\beta \text{tg}10\beta = 1 + \frac{\sin5\beta}{\cos5\beta} \cdot \frac{\sin10\beta}{\cos10\beta} $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{\cos5\beta \cos10\beta + \sin5\beta \sin10\beta}{\cos5\beta \cos10\beta} $
В числителе узнаем формулу косинуса разности $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Применим эту формулу для $ A=10\beta $ и $ B=5\beta $:
$ \frac{\cos(10\beta - 5\beta)}{\cos5\beta \cos10\beta} = \frac{\cos5\beta}{\cos5\beta \cos10\beta} $
Сократим дробь на $ \cos5\beta $ (при условии, что $ \cos5\beta \neq 0 $):
$ \frac{1}{\cos10\beta} $
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $ 1 + \text{tg}5\beta\text{tg}10\beta = \frac{1}{\cos10\beta} $.

3) Докажем тождество $ \frac{(\cos(2\pi+6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}-8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2}+8\alpha) - \sin(\pi-6\alpha))}{1+\sin(\frac{3\pi}{2}-2\alpha)} = \sin14\alpha $.
Преобразуем левую часть, упрощая тригонометрические функции с помощью формул приведения.
Упростим числитель:
Первая скобка: $ \cos(2\pi+6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}-8\alpha) = \cos6\alpha - \cos8\alpha $.
Вторая скобка: $ \cos(\frac{3\pi}{2}+8\alpha) - \sin(\pi-6\alpha) = \sin8\alpha - \sin6\alpha $.
Упростим знаменатель:
$ 1 + \sin(\frac{3\pi}{2}-2\alpha) = 1 + (-\cos2\alpha) = 1 - \cos2\alpha $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{(\cos6\alpha - \cos8\alpha)(\sin8\alpha - \sin6\alpha)}{1 - \cos2\alpha} $
Теперь применим формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение:
$ \cos6\alpha - \cos8\alpha = -2\sin(\frac{6\alpha+8\alpha}{2})\sin(\frac{6\alpha-8\alpha}{2}) = -2\sin7\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin7\alpha\sin\alpha $.
$ \sin8\alpha - \sin6\alpha = 2\cos(\frac{8\alpha+6\alpha}{2})\sin(\frac{8\alpha-6\alpha}{2}) = 2\cos7\alpha\sin\alpha $.
Числитель равен произведению этих выражений: $ (2\sin7\alpha\sin\alpha)(2\cos7\alpha\sin\alpha) = 4\sin7\alpha\cos7\alpha\sin^2\alpha $.
В знаменателе используем формулу двойного угла: $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{4\sin7\alpha\cos7\alpha\sin^2\alpha}{2\sin^2\alpha} $
Сократим дробь на $ 2\sin^2\alpha $ (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $):
$ 2\sin7\alpha\cos7\alpha $
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $:
$ \sin(2 \cdot 7\alpha) = \sin14\alpha $
Таким образом, левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $ \frac{(\cos(2\pi+6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}-8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2}+8\alpha) - \sin(\pi-6\alpha))}{1+\sin(\frac{3\pi}{2}-2\alpha)} = \sin14\alpha $.