Номер 2, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $\operatorname{tg}\left(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\right) < -\sqrt{3};$

2) $\cos x(\operatorname{ctg} x - 1) < 0.$

1) Решим неравенство $tg(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}) < -\sqrt{3}$.

Введем замену: пусть $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$. Тогда неравенство принимает вид $tg(t) < -\sqrt{3}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, ограниченный асимптотой тангенса и значением арктангенса. Решение уравнения $tg(t) = -\sqrt{3}$ есть $t = arctg(-\sqrt{3}) + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция тангенса меньше $-\sqrt{3}$ на интервалах:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям двойного неравенства $\frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$
$-\frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$
$\frac{2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{3\pi}{6} + \pi k$
$\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Наконец, умножим все части неравенства на 7:
$7 \cdot (\frac{\pi}{3} + \pi k) < x < 7 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k)$
$\frac{7\pi}{3} + 7\pi k < x < \frac{7\pi}{2} + 7\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{7\pi}{3} + 7\pi k; \frac{7\pi}{2} + 7\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $cos(x)(ctg(x) - 1) < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования котангенса: $sin(x) \neq 0$, откуда $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем неравенство, выразив котангенс через синус и косинус:
$cos(x)(\frac{cos(x)}{sin(x)} - 1) < 0$
$cos(x)(\frac{cos(x) - sin(x)}{sin(x)}) < 0$
$\frac{cos(x)(cos(x) - sin(x))}{sin(x)} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов на тригонометрической окружности. Найдем нули числителя и знаменателя на промежутке $[0, 2\pi)$.
1. Нули числителя:
$cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}$.
$cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) = sin(x) \implies tg(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$.
2. Нули знаменателя (точки разрыва):
$sin(x) = 0 \implies x = 0, x = \pi$.

Отметим эти точки на числовой окружности: $0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}$. Они разбивают окружность на 6 интервалов. Определим знак выражения $f(x) = \frac{cos(x)(cos(x) - sin(x))}{sin(x)}$ в каждом интервале.

• Интервал $(0, \frac{\pi}{4})$: $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• Интервал $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Подходит.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}, \pi)$: $f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
• Интервал $(\pi, \frac{5\pi}{4})$: $f(\frac{7\pi}{6}) = \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Подходит.
• Интервал $(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$: $f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
• Интервал $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$: $f(\frac{11\pi}{6}) = \frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Подходит.

Таким образом, на промежутке $[0, 2\pi)$ решениями являются интервалы $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, $(\pi, \frac{5\pi}{4})$ и $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

Учитывая периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$), запишем общее решение:
$x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.