Номер 5, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Упростите выражение: $\sqrt{4-4\sin2\alpha} - \sqrt{2-2\cos2\alpha}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Для упрощения выражения $\sqrt{4 - 4\sin2\alpha} - \sqrt{2 - 2\cos2\alpha}$ преобразуем каждый член по отдельности, используя тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем первый корень: $\sqrt{4 - 4\sin2\alpha}$. Вынесем 4 за скобку под корнем: $\sqrt{4(1 - \sin2\alpha)} = 2\sqrt{1 - \sin2\alpha}$. Используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем выражение под корнем в виде полного квадрата разности:
$2\sqrt{\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha} = 2\sqrt{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = 2|\sin\alpha - \cos\alpha|$.

Теперь преобразуем второй корень: $\sqrt{2 - 2\cos2\alpha}$. Вынесем 2 за скобку: $\sqrt{2(1 - \cos2\alpha)}$. Используя формулу косинуса двойного угла $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$, получаем:
$\sqrt{2 \cdot 2\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2|\sin\alpha|$.

Таким образом, исходное выражение равно $2|\sin\alpha - \cos\alpha| - 2|\sin\alpha|$.

Далее необходимо раскрыть модули, учитывая условие $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin\alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$).

Поскольку $\sin\alpha > 0$, то $|\sin\alpha| = \sin\alpha$.

Для определения знака выражения $\sin\alpha - \cos\alpha$ заметим, что мы вычитаем отрицательное число ($\cos\alpha$) из положительного ($\sin\alpha$), что всегда дает положительный результат. Следовательно, $\sin\alpha - \cos\alpha > 0$, и $|\sin\alpha - \cos\alpha| = \sin\alpha - \cos\alpha$.

Подставим полученные выражения обратно в упрощенное выражение:
$2(\sin\alpha - \cos\alpha) - 2\sin\alpha = 2\sin\alpha - 2\cos\alpha - 2\sin\alpha = -2\cos\alpha$.

Ответ: $-2\cos\alpha$.