Номер 1, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Тригонометрические уравнения и неравенства

1. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0$;

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0$;

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0$;

4) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$;

5) $\sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x$.

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:
$4(1 - \cos^2 x) - 8\cos x + 1 = 0$
$4 - 4\cos^2 x - 8\cos x + 1 = 0$
$-4\cos^2 x - 8\cos x + 5 = 0$
$4\cos^2 x + 8\cos x - 5 = 0$
Сделаем замену переменной: $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 + 8t - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$
$t_{1} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5$
$t_{2} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$
Корень $t_1 = -2.5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.
Вернемся к замене для $t_2 = 0.5$:
$\cos x = 0.5$
$x = \pm \arccos(0.5) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:
$2\cos^2 2x - 2(2\sin 2x \cos 2x) + 1 = 0$
$2\cos^2 2x - 4\sin 2x \cos 2x + 1 = 0$
Заменим 1 на $\sin^2 2x + \cos^2 2x$ (основное тригонометрическое тождество):
$2\cos^2 2x - 4\sin 2x \cos 2x + (\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 0$
$\sin^2 2x - 4\sin 2x \cos 2x + 3\cos^2 2x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равен нулю. Если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin^2 2x = 0$, то есть $\sin 2x = 0$. Но $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $\cos 2x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$:
$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{4\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{3\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$
$\tan^2 2x - 4\tan 2x + 3 = 0$
Пусть $y = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 4y + 3 = 0$
Его корни $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\tan 2x = 1$
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
2) $\tan 2x = 3$
$2x = \arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi m}{2}, k, m \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\cos 7x + \cos 9x) + \cos 8x = 0$
$2\cos\frac{7x+9x}{2}\cos\frac{9x-7x}{2} + \cos 8x = 0$
$2\cos 8x \cos x + \cos 8x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos 8x$ за скобки:
$\cos 8x(2\cos x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $\cos 8x = 0$
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$
2) $2\cos x + 1 = 0$
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$1 - \cos x \ne 0 \implies \cos x \ne 1 \implies x \ne 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} = 2\sin x$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2\sin x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} - 2\sin x = 0$
$2\sin x \left( \frac{\cos x}{1 - \cos x} - 1 \right) = 0$
Рассмотрим два случая:
1) $\sin x = 0$
$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Учтем ОДЗ ($x \ne 2\pi k$). Решения $x = 2\pi k$ (при четных $n$) не подходят. Подходят решения при нечетных $n$, то есть $n=2k+1$.
$x = (2k+1)\pi = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\frac{\cos x}{1 - \cos x} - 1 = 0$
$\frac{\cos x}{1 - \cos x} = 1$
$\cos x = 1 - \cos x$
$2\cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x = \frac{1}{2} \ne 1$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла. Для выражения $a\sin u + b\cos u$ имеем $a=1, b=1$, $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
$\sin 10x + \cos 10x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 10x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 10x\right)$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:
$\sqrt{2}(\sin 10x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 10x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(10x+\frac{\pi}{4})$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\sin(10x+\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\sin 8x$
$\sin(10x+\frac{\pi}{4}) = -\sin 8x$
Используя нечетность синуса, $-\sin 8x = \sin(-8x)$, получаем:
$\sin(10x+\frac{\pi}{4}) = \sin(-8x)$
Равенство $\sin \alpha = \sin \beta$ выполняется в двух случаях:
1) $\alpha = \beta + 2\pi k$
$10x + \frac{\pi}{4} = -8x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$18x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{72} + \frac{2\pi k}{18}$
$x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$
2) $\alpha = \pi - \beta + 2\pi m$
$10x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-8x) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$10x + \frac{\pi}{4} = \pi + 8x + 2\pi m$
$2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi m$
$2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$
$x = \frac{3\pi}{8} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, x = \frac{3\pi}{8} + \pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.