Номер 3, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Вычислите $ \arcsin(\sin 14) $.

По определению, значение функции арксинус, $y = \arcsin(x)$, должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, нам нужно найти такое число $\alpha$, что $\sin(\alpha) = \sin(14)$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Число 14 (подразумеваются радианы) не принадлежит этому отрезку, так как $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$, и очевидно, что $14 > 1.57$.

Для нахождения искомого числа $\alpha$ воспользуемся свойствами функции синус. Мы знаем, что синусы двух углов равны, если эти углы либо равны с точностью до периода $2\pi$, либо их сумма равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi$. То есть, $\sin(x) = \sin(y)$ тогда и только тогда, когда $y = x + 2k\pi$ или $y = \pi - x + 2k\pi$ для некоторого целого числа $k$.

Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы одно из выражений, $14 + 2k\pi$ или $\pi - 14 + 2k\pi$, попало в интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Рассмотрим первый случай: ищем такое целое $k$, что $-\frac{\pi}{2} \le 14 + 2k\pi \le \frac{\pi}{2}$.

Вычтем 14 из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - 14 \le 2k\pi \le \frac{\pi}{2} - 14$

Разделим все части на $2\pi$:

$-\frac{1}{4} - \frac{7}{\pi} \le k \le \frac{1}{4} - \frac{7}{\pi}$

Приближенно вычислим границы, используя $\pi \approx 3.14$:

$-0.25 - \frac{7}{3.14} \le k \le 0.25 - \frac{7}{3.14}$

$-0.25 - 2.23 \le k \le 0.25 - 2.23$

$-2.48 \le k \le -1.98$

Единственное целое число в этом интервале — это $k=-2$.

Подставим $k=-2$ в выражение: $\alpha = 14 + 2(-2)\pi = 14 - 4\pi$.

Проверим, что это значение действительно находится в нужном отрезке: $14 - 4\pi \approx 14 - 4 \times 3.14159 = 14 - 12.56636 = 1.43364$.

Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то значение $1.43364$ действительно принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Таким образом, мы нашли искомое значение: $\arcsin(\sin 14) = \arcsin(\sin(14 - 4\pi)) = 14 - 4\pi$.

(Проверка второго случая, $\alpha = \pi - 14 + 2k\pi$, покажет, что для него не существует подходящего целого $k$).

Ответ: $14 - 4\pi$