Номер 5, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Сравните значения выражений:

1) $ \text{tg} \frac{20\pi}{19} $ и $ \text{tg} \frac{21\pi}{20} $;

2) $ \cos \left( -\frac{16\pi}{33} \right) $ и $ \cos \left( -\frac{17\pi}{35} \right) $.

1) Сравним $ \text{tg}\frac{20\pi}{19} $ и $ \text{tg}\frac{21\pi}{20} $.

Преобразуем аргументы тригонометрических функций, используя периодичность тангенса ($ \text{tg}(x+\pi) = \text{tg}(x) $).

$ \text{tg}\frac{20\pi}{19} = \text{tg}(\frac{19\pi + \pi}{19}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{19}) = \text{tg}\frac{\pi}{19} $.

$ \text{tg}\frac{21\pi}{20} = \text{tg}(\frac{20\pi + \pi}{20}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{20}) = \text{tg}\frac{\pi}{20} $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \text{tg}\frac{\pi}{19} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{20} $.

Сравним аргументы $ \frac{\pi}{19} $ и $ \frac{\pi}{20} $. Так как $ 19 < 20 $, то $ \frac{1}{19} > \frac{1}{20} $, и, следовательно, $ \frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20} $.

Оба угла, $ \frac{\pi}{19} $ и $ \frac{\pi}{20} $, принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y=\text{tg}(x) $ возрастает.

Поскольку $ \frac{\pi}{19} > \frac{\pi}{20} $, и тангенс на этом промежутке является возрастающей функцией, то $ \text{tg}\frac{\pi}{19} > \text{tg}\frac{\pi}{20} $.

Следовательно, $ \text{tg}\frac{20\pi}{19} > \text{tg}\frac{21\pi}{20} $.

Ответ: $ \text{tg}\frac{20\pi}{19} > \text{tg}\frac{21\pi}{20} $.

2) Сравним $ \cos(-\frac{16\pi}{33}) $ и $ \cos(-\frac{17\pi}{35}) $.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

$ \cos(-\frac{16\pi}{33}) = \cos(\frac{16\pi}{33}) $.

$ \cos(-\frac{17\pi}{35}) = \cos(\frac{17\pi}{35}) $.

Теперь задача сводится к сравнению $ \cos(\frac{16\pi}{33}) $ и $ \cos(\frac{17\pi}{35}) $.

Сравним аргументы $ \frac{16\pi}{33} $ и $ \frac{17\pi}{35} $. Для этого сравним дроби $ \frac{16}{33} $ и $ \frac{17}{35} $.

Выполним перекрестное умножение: $ 16 \times 35 $ и $ 17 \times 33 $.

$ 16 \times 35 = 560 $.

$ 17 \times 33 = 561 $.

Так как $ 560 < 561 $, то $ \frac{16}{33} < \frac{17}{35} $, следовательно, $ \frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35} $.

Оба угла, $ \frac{16\pi}{33} $ и $ \frac{17\pi}{35} $, меньше чем $ \frac{\pi}{2} $ (так как $ \frac{16}{33} < \frac{16.5}{33} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{17}{35} < \frac{17.5}{35} = \frac{1}{2} $), то есть принадлежат первой четверти, интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале функция $ y=\cos(x) $ убывает.

Поскольку $ \frac{16\pi}{33} < \frac{17\pi}{35} $, и косинус на этом промежутке является убывающей функцией, то $ \cos(\frac{16\pi}{33}) > \cos(\frac{17\pi}{35}) $.

Следовательно, $ \cos(-\frac{16\pi}{33}) > \cos(-\frac{17\pi}{35}) $.

Ответ: $ \cos(-\frac{16\pi}{33}) > \cos(-\frac{17\pi}{35}) $.