Номер 4, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Найдите период функции $f(x) = \sin \frac{3x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{4x}{3}$.

Для нахождения периода функции $f(x) = \sin\frac{3x}{2} + \text{ctg}\frac{4x}{3}$, которая представляет собой сумму двух периодических функций, необходимо определить период каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

1. Найдем период функции $g(x) = \sin\frac{3x}{2}$.

Основной период синуса, $\sin(t)$, равен $2\pi$. Для функции вида $\sin(kx)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{3}{2}$.

Период первого слагаемого, $T_1$, равен:

$T_1 = \frac{2\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Найдем период функции $h(x) = \text{ctg}\frac{4x}{3}$.

Основной период котангенса, $\text{ctg}(t)$, равен $\pi$. Для функции вида $\text{ctg}(kx)$ период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{4}{3}$.

Период второго слагаемого, $T_2$, равен:

$T_2 = \frac{\pi}{|\frac{4}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{4}{3}} = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

3. Найдем наименьший общий период $T$ для функции $f(x)$, который является наименьшим общим кратным периодов $T_1$ и $T_2$.

Нужно найти такое наименьшее число $T > 0$, для которого существуют целые числа $n$ и $m$ такие, что $T = n \cdot T_1 = m \cdot T_2$.

$n \cdot \frac{4\pi}{3} = m \cdot \frac{3\pi}{4}$

Разделив обе части на $\pi$, получим:

$n \cdot \frac{4}{3} = m \cdot \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$16n = 9m$

Так как числа 16 и 9 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), наименьшее натуральное решение этого уравнения достигается при $n=9$ и $m=16$.

Теперь найдем общий период $T$, подставив значение $n$ в выражение для $T_1$ (или $m$ в выражение для $T_2$):

$T = n \cdot T_1 = 9 \cdot \frac{4\pi}{3} = 3 \cdot 4\pi = 12\pi$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $f(x)$ равен $12\pi$.

Ответ: $12\pi$.