Номер 4, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Исследуйте функцию $f(x) = 2x^2 - x^4$ и постройте её график.

1. Область определения функции
Функция $f(x) = 2x^2 - x^4$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность
Проверим функцию на четность, найдя $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy. Функция не является периодической.
Ответ: Функция четная, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy (x=0):
$y = f(0) = 2 \cdot 0^2 - 0^4 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
С осью Ox (y=0):
$2x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(2 - x^2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства
Определим знаки функции $f(x) = x^2(2-x^2)$ на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции.
$f(x) > 0$ при $2-x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, исключая $x=0$.
$f(x) < 0$ при $2-x^2 < 0 \Rightarrow x^2 > 2 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

5. Асимптоты
Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Наклонные асимптоты ($y=kx+b$):
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (2x - x^3) = \mp\infty$.
Так как предел не является конечным числом, наклонные (и горизонтальные) асимптоты отсутствуют.
Ответ: Асимптот у графика функции нет.

6. Исследование на монотонность и экстремумы
Найдем первую производную: $f'(x) = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.
Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$4x - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- $(-\infty, -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).
- $(-1, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает ($\searrow$).
- $(0, 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).
- $(1, +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает ($\searrow$).
В точке $x=-1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 1$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = f(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 1$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$. Функция убывает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$. Точки максимума: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Точка минимума: $(0, 0)$.

7. Исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Найдем вторую производную: $f''(x) = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$.
Найдем точки перегиба из условия $f''(x) = 0$:
$4 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Исследуем знак второй производной:
- $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (concave down).
- $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (concave up).
- $(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (concave down).
Найдем ординаты точек перегиба: $y(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: График функции является выпуклым вверх на $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$ и вогнутым на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9})$.

8. Построение графика
На основе проведенного исследования строим график. Основные точки:
- Пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$; $(0, 0)$; $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$.
- Экстремумы: максимумы $(-1, 1)$ и $(1, 1)$; минимум $(0, 0)$.
- Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9}) \approx (-0.58, 0.56)$; $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9}) \approx (0.58, 0.56)$.
График симметричен относительно оси Oy. Начиная с $-\infty$, функция возрастает до точки максимума $(-1,1)$, затем убывает до точки минимума $(0,0)$, далее возрастает до второго максимума $(1,1)$ и после этого убывает до $-\infty$. На участках от $-\infty$ до точки перегиба $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ и от $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ до $+\infty$ график выпуклый вверх, а между точками перегиба — вогнутый. График имеет форму буквы "М".
Ответ: График функции построен на основе ключевых точек и проведенного анализа.