Номер 5, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство $\sqrt{4-3x} < x+2$.

Данное иррациональное неравенство $ \sqrt{4 - 3x} < x + 2 $ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 4 - 3x \ge 0 \\ x + 2 > 0 \\ (\sqrt{4 - 3x})^2 < (x + 2)^2 \end{cases} $

Первое неравенство $ 4 - 3x \ge 0 $ определяет область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения. Второе неравенство $ x + 2 > 0 $ является необходимым условием, так как значение арифметического квадратного корня (которое всегда неотрицательно) не может быть меньше отрицательного числа. При выполнении первых двух условий обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, что приводит к третьему неравенству системы.

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. Решим первое неравенство:

$ 4 - 3x \ge 0 $

$ -3x \ge -4 $

$ x \le \frac{4}{3} $

Решением является промежуток $ (-\infty; \frac{4}{3}] $.

2. Решим второе неравенство:

$ x + 2 > 0 $

$ x > -2 $

Решением является промежуток $ (-2; +\infty) $.

3. Решим третье неравенство:

$ 4 - 3x < (x + 2)^2 $

$ 4 - 3x < x^2 + 4x + 4 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 0 < x^2 + 4x + 3x + 4 - 4 $

$ 0 < x^2 + 7x $

$ x^2 + 7x > 0 $

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $ x^2 + 7x = 0 $:

$ x(x + 7) = 0 $

Корнями являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -7 $.

Так как ветви параболы $ y = x^2 + 7x $ направлены вверх, неравенство $ x^2 + 7x > 0 $ выполняется, когда $ x $ находится вне интервала между корнями, то есть $ x < -7 $ или $ x > 0 $. Решением является объединение промежутков $ (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) $.

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств, то есть общую область, где выполняются все три условия:

$ \begin{cases} x \le \frac{4}{3} \\ x > -2 \\ x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) \end{cases} $

Сначала найдем пересечение решений первых двух неравенств: $ x > -2 $ и $ x \le \frac{4}{3} $. Это дает нам интервал $ (-2; \frac{4}{3}] $.

Далее, найдем пересечение этого интервала с решением третьего неравенства $ (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) $:

$ (-2; \frac{4}{3}] \cap ((-\infty; -7) \cup (0; +\infty)) $

Пересечение с интервалом $ (-\infty; -7) $ пусто, так как нет чисел, которые были бы одновременно больше -2 и меньше -7.

Пересечение с интервалом $ (0; +\infty) $ дает $ (0; \frac{4}{3}] $.

Таким образом, итоговым решением системы и исходного неравенства является промежуток $ (0; \frac{4}{3}] $.

Ответ: $ (0; \frac{4}{3}] $.