Страница 74 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 37

Определение предела функции в точке и функции, непрерывной в точке

Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 18, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 18

Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 7 - 2x, & \text{если } x < 3, \\ x^2 - 8, & \text{если } x \ge 3, \end{cases}$

выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = 3$.

Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} 2x$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{7\sqrt{x} - 3}{6x - \sqrt{x}};$

3) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 9}$.

1.

Для рисунка а:

1) Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке есть закрашенная точка. Значение функции равно $f(x_0)$.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Левосторонний и правосторонний пределы равны, так как график является непрерывной линией в окрестности этой точки: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) Да, предел в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке.

Ответ: Функция определена, предел существует и равен значению функции в точке $x_0$.

Для рисунка б:

1) Нет, функция не определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке изображена выколотая (незакрашенная) точка.

2) Да, предел функции в точке $x_0$ существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $a$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$.

3) Предел в точке $x_0$ существует, но он не равен значению функции в этой точке, поскольку функция в точке $x_0$ не определена.

Ответ: Функция не определена в точке $x_0$, предел существует, но не равен значению функции.

Для рисунка в:

1) Да, функция определена в точке $x_0$, так как на графике в этой точке есть закрашенная точка. Значение функции равно $f(x_0)$.

2) Нет, предел функции в точке $x_0$ не существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ слева, значения функции $f(x)$ неограниченно возрастают ($\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$), а когда $x$ стремится к $x_0$ справа, значения функции неограниченно убывают ($\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$). Поскольку односторонние пределы не равны, общего предела не существует.

3) Поскольку предел в точке $x_0$ не существует, его нельзя сравнить со значением функции в этой точке.

Ответ: Функция определена в точке $x_0$, но предел в этой точке не существует.

2.

Заданная функция является кусочной: $f(x) = \begin{cases} 7 - 2x, & \text{если } x < 3 \\ x^2 - 8, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$.

Для построения графика рассмотрим обе части функции:

• При $x < 3$ график функции – это луч прямой $y = 7 - 2x$. Он проходит через точки, например, $(0, 7)$ и $(2, 3)$. В точке $x=3$ значение было бы $y=7-2(3)=1$, но так как неравенство строгое, на графике будет выколотая точка $(3, 1)$.
• При $x \ge 3$ график функции – это часть параболы $y = x^2 - 8$. Ветви параболы направлены вверх. В граничной точке при $x=3$, $y=3^2-8=1$. Точка $(3, 1)$ принадлежит графику. При $x=4$, $y=4^2-8=8$.

Для проверки непрерывности функции $f$ в точке $x_0 = 3$ необходимо выполнение трех условий:

1. Функция определена в точке $x_0 = 3$.
   Используем вторую часть определения функции: $f(3) = 3^2 - 8 = 1$. Функция определена.
2. Существует предел функции в точке $x_0 = 3$.
   Найдем левосторонний и правосторонний пределы:
   $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (7 - 2x) = 7 - 2(3) = 1$.
   $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 8) = 3^2 - 8 = 1$.
   Так как односторонние пределы равны, предел существует: $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке.
   $f(3) = 1$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$. Условие $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$ выполнено.

Так как все три условия выполнены, функция является непрерывной в точке $x_0 = 3$.

Ответ: Да, функция $f$ непрерывна в точке $x_0 = 3$.

3.

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} 2x$

Функция $y = \operatorname{tg} 2x$ непрерывна в точке $x = \frac{\pi}{6}$, так как точка $2x = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ входит в область определения тангенса. Поэтому предел можно найти прямой подстановкой:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

2) $\lim_{x \to 0} \frac{7\sqrt{x} - 3}{6x - \sqrt{x}}$

Поскольку подкоренное выражение $\sqrt{x}$ определено для $x \ge 0$, мы рассматриваем предел при $x \to 0^+$. При подстановке $x=0$ в числитель получаем $7\sqrt{0} - 3 = -3$. В знаменателе получаем $6(0) - \sqrt{0} = 0$. Так как знаменатель стремится к нулю, а числитель — к константе, отличной от нуля, предел будет бесконечным. Определим знак знаменателя при $x \to 0^+$. Для малых положительных $x$, $\sqrt{x}$ больше, чем $6x$. Следовательно, знаменатель $6x - \sqrt{x}$ будет отрицательным. Таким образом, мы имеем отношение отрицательного числа к бесконечно малому отрицательному числу.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{7\sqrt{x} - 3}{6x - \sqrt{x}} = \frac{-3}{0^-} = +\infty$.

Ответ: $+\infty$.

3) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 - 9}$

При подстановке $x=3$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{3^2 + 2(3) - 15}{3^2 - 9} = \frac{9+6-15}{9-9} = \frac{0}{0}$. Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 + 2x - 15 = (x-3)(x+5)$.

Знаменатель (разность квадратов): $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Подставим разложения в предел и сократим на $(x-3)$, так как $x \to 3$ означает, что $x \neq 3$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+5}{x+3}$.

Теперь выполним подстановку $x=3$:

$\frac{3+5}{3+3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.