Страница 43 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $ \cos \alpha = 0,6 $, $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $. Найдите:

1) $ \sin 2\alpha $;

2) $ \cos 2\alpha $;

3) $ \operatorname{tg} 4\alpha $.

2. Понизьте степень выражения:

1) $ \sin^2 5\alpha $;

2) $ \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + 20^\circ \right) $.

3. Докажите тождество:

1) $ 2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1 $;

2) $ \operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha $.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)} $;

2) $ \sqrt{0,5 - 0,5\cos 4\alpha} $, если $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

5. Найдите значение выражения $ \sin 20^\circ (4\cos^2 20^\circ - 1) $.

1.

1) sin 2α

По основному тригонометрическому тождеству $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
$sin \alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.
По условию $270^\circ < \alpha < 360^\circ$, что соответствует IV четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $sin \alpha = -0,8$.
Используем формулу синуса двойного угла: $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
$sin 2\alpha = 2 \cdot (-0,8) \cdot 0,6 = -0,96$.
Ответ: $-0,96$.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1$.
$cos 2\alpha = 2 \cdot (0,6)^2 - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28$.
Ответ: $-0,28$.

3) tg 4α

Сначала найдем $tg 2\alpha$:
$tg 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$.
Используем формулу тангенса двойного угла для $tg 4\alpha = tg(2 \cdot 2\alpha)$:
$tg 4\alpha = \frac{2 tg 2\alpha}{1 - tg^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49-576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{-527}{49}} = \frac{48}{7} \cdot \frac{49}{-527} = -\frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527}$.
Ответ: $-\frac{336}{527}$.

2.

1) sin² 5α

Используем формулу понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}$.
В данном случае $x = 5\alpha$, тогда $2x = 10\alpha$.
$sin^2 5\alpha = \frac{1 - cos 10\alpha}{2}$.
Ответ: $\frac{1 - cos 10\alpha}{2}$.

2) $cos^2\left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right)$

Используем формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos 2x}{2}$.
В данном случае $x = \frac{\alpha}{2} + 20^\circ$, тогда $2x = 2\left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right) = \alpha + 40^\circ$.
$cos^2\left(\frac{\alpha}{2} + 20^\circ\right) = \frac{1 + cos(\alpha + 40^\circ)}{2}$.
Ответ: $\frac{1 + cos(\alpha + 40^\circ)}{2}$.

3.

1) $2cos^2\alpha - cos 2\alpha = 1$

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу косинуса двойного угла $cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1$.
$2cos^2 \alpha - cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - (2cos^2 \alpha - 1) = 2cos^2 \alpha - 2cos^2 \alpha + 1 = 1$.
$1 = 1$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) $tg \alpha(1 + cos 2\alpha) = sin 2\alpha$

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу $1 + cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha$.
$tg \alpha (1 + cos 2\alpha) = tg \alpha \cdot (2cos^2 \alpha)$.
Заменим $tg \alpha$ на $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot 2cos^2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
Используя формулу синуса двойного угла $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$, получаем:
$2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$.
$sin 2\alpha = sin 2\alpha$.
Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4.

1) $\frac{2sin^2 4\alpha - 1}{2ctg(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)cos^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}$

Упростим числитель, используя формулу $cos 2x = 1 - 2sin^2 x$, откуда $2sin^2 x - 1 = -cos 2x$.
При $x = 4\alpha$, числитель равен $-cos(2 \cdot 4\alpha) = -cos(8\alpha)$.
Упростим знаменатель. Используем формулу приведения $ctg\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = tg y$. Заметим, что $\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) + \left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = \frac{\pi}{2}$.
Пусть $y = \frac{\pi}{4} - 4\alpha$, тогда $\frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{4} + 4\alpha$.
Следовательно, $ctg\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) = tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)$.
Знаменатель принимает вид: $2tg\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = 2 \frac{sin(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)} cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right) = 2sin\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)$.
По формуле синуса двойного угла $2sin y cos y = sin 2y$, знаменатель равен $sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)\right) = sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\alpha\right)$.
Используя формулу приведения $sin\left(\frac{\pi}{2} - z\right) = cos z$, получаем $sin\left(\frac{\pi}{2} - 8\alpha\right) = cos(8\alpha)$.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$\frac{-cos(8\alpha)}{cos(8\alpha)} = -1$.
Ответ: $-1$.

2) $\sqrt{0,5 - 0,5cos 4\alpha}$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Преобразуем подкоренное выражение:
$0,5 - 0,5cos 4\alpha = 0,5(1 - cos 4\alpha)$.
Используем формулу понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2}$, или $1 - cos 2x = 2sin^2 x$.
При $2x = 4\alpha$, имеем $x=2\alpha$.
$0,5(1 - cos 4\alpha) = 0,5(2sin^2 2\alpha) = sin^2 2\alpha$.
Исходное выражение равно $\sqrt{sin^2 2\alpha} = |sin 2\alpha|$.
Определим знак $sin 2\alpha$ из условия $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Умножим неравенство на 2: $2 \cdot \frac{\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{\pi}{2}$, что дает $\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi$.
Этот интервал соответствует II четверти, где синус положителен. Следовательно, $|sin 2\alpha| = sin 2\alpha$.
Ответ: $sin 2\alpha$.

5.

Рассмотрим выражение $sin 20^\circ (4cos^2 20^\circ - 1)$.
Используем формулу синуса тройного угла в виде $sin(3\alpha) = sin\alpha(4cos^2\alpha - 1)$.
В нашем случае $\alpha = 20^\circ$.
Следовательно, выражение $sin 20^\circ (4cos^2 20^\circ - 1)$ равно $sin(3 \cdot 20^\circ) = sin(60^\circ)$.
Значение $sin(60^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $\cos \frac{7\pi}{9} + \cos \frac{5\pi}{9};$

2) $\cos \left( \beta + \frac{\pi}{10} \right) + \cos \left( \beta - \frac{\pi}{10} \right);$

3) $\sin 3\beta - \cos \beta;$

4) $\sqrt{3} - 2\sin\alpha.$

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin 15^\circ \cos 40^\circ;$

2) $\cos \alpha \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right).$

3. Докажите тождество:

1) $\sin 4\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \cos 5\alpha = \sin 6\alpha \cos \alpha;$

2) $\cos^2 (\alpha - \beta) - \cos^2 (\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta.$

1. Преобразуйте в произведение:

1) $\cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9}$

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{7\pi}{9}$ и $y = \frac{5\pi}{9}$.

Находим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{7\pi}{9} + \frac{5\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{12\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{\frac{7\pi}{9} - \frac{5\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{9}}{2} = \frac{\pi}{9}$

Подставляем найденные значения в формулу:

$\cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9} = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$.

Так как значение косинуса $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$.

Ответ: $-\cos\frac{\pi}{9}$.

2) $\cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + \cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right)$

Используем ту же формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = \beta + \frac{\pi}{10}$ и $y = \beta - \frac{\pi}{10}$.

Находим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) + (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) - (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{\frac{2\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{10}$

Подставляем значения в формулу:

$\cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + \cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right) = 2 \cos\beta \cos\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $2 \cos\beta \cos\frac{\pi}{10}$.

3) $\sin 3\beta - \cos\beta$

Для использования формулы разности синусов, приведем $\cos\beta$ к синусу, используя формулу приведения: $\cos\beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$.

Выражение принимает вид: $\sin 3\beta - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$.

Используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = 3\beta$ и $y = \frac{\pi}{2} - \beta$.

$\frac{x+y}{2} = \frac{3\beta + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{2\beta + \frac{\pi}{2}}{2} = \beta + \frac{\pi}{4}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{3\beta - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{4\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = 2\beta - \frac{\pi}{4}$

Подставляем в формулу:

$\sin 3\beta - \cos\beta = 2 \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(2\beta - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $2 \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(2\beta - \frac{\pi}{4}\right)$.

4) $\sqrt{3} - 2\sin\alpha$

Вынесем множитель 2 за скобки: $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\alpha\right)$.

Представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как синус угла: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$.

Получаем выражение: $2\left(\sin\frac{\pi}{3} - \sin\alpha\right)$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$2\left[2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right)\right] = 4 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $4 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin 15^\circ \cos 40^\circ$

Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$.

Здесь $x = 15^\circ$ и $y = 40^\circ$.

$\sin 15^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ+40^\circ) + \sin(15^\circ-40^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 55^\circ + \sin(-25^\circ))$.

Так как $\sin(-25^\circ) = -\sin 25^\circ$, получаем:

$\frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ)$.

2) $\cos\alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} + \alpha$.

$\cos\alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.

Так как $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}$.

3. Докажите тождество:

1) $\sin 4\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \cos 5\alpha = \sin 6\alpha \cos\alpha$

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ). Применим к каждому слагаемому формулу $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$.

Первое слагаемое: $\sin 4\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha+\alpha) + \sin(4\alpha-\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)$.

Второе слагаемое: $\sin 2\alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2}(\sin(2\alpha+5\alpha) + \sin(2\alpha-5\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin(-3\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha)$.

Сложим полученные выражения:

ЛЧ = $\frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha) + \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha + \sin 7\alpha - \sin 3\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin 5\alpha)$.

Теперь преобразуем полученную сумму синусов в произведение по формуле $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

ЛЧ = $\frac{1}{2}\left(2 \sin\frac{7\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-5\alpha}{2}\right) = \sin\frac{12\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = \sin 6\alpha \cos\alpha$.

Левая часть равна правой части ($\sin 6\alpha \cos\alpha$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ), используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

ЛЧ = $(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Теперь применим формулы преобразования разности и суммы косинусов в произведение:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Для первого множителя ($x = \alpha - \beta, y = \alpha + \beta$):

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2 \sin\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}\sin\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = -2 \sin\alpha \sin(-\beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta$.

Для второго множителя:

$\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2 \cos\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}\cos\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = 2 \cos\alpha \cos(-\beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta$.

Перемножим результаты:

ЛЧ = $(2 \sin\alpha \sin\beta)(2 \cos\alpha \cos\beta) = 4 \sin\alpha \cos\alpha \sin\beta \cos\beta = (2 \sin\alpha \cos\alpha)(2 \sin\beta \cos\beta)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получаем:

ЛЧ = $\sin 2\alpha \sin 2\beta$.

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.