Страница 37 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Различные приёмы решения иррациональных уравнений и их систем

Решите уравнение (систему уравнений):

1) $\sqrt{x+2} = 2\sqrt[4]{x+2} + 3;$

2) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1;$

3) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0;$

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = -64; \end{cases}$

5) $\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x} = 3.$

1) $\sqrt{x + 2} = 2\sqrt[4]{x + 2} + 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x + 2}$. Так как корень четвертой степени из неотрицательного числа является неотрицательным, то $t \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x + 2} = (\sqrt[4]{x + 2})^2 = t^2$. Подставим в исходное уравнение:

$t^2 = 2t + 3$

Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 3$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=3$:

$\sqrt[4]{x + 2} = 3$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x + 2})^4 = 3^4$

$x + 2 = 81$

$x = 79$

Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $79 \ge -2$. Корень подходит.

Ответ: 79.

2) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть строго положительными (так как одно из них находится в знаменателе после преобразования, а также правая часть не равна 0):

$\frac{2x}{x+1} > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Заметим, что выражения под корнями взаимообратные. Введем замену: $t = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t - 2 \cdot \frac{1}{t} = 1$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t^2 - 2 = t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Согласно условию $t > 0$, нам подходит только $t_1 = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{2x}{x+1} = 4$

$2x = 4(x+1)$

$2x = 4x + 4$

$-2x = 4$

$x = -2$

Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $-2 \in (-\infty, -1)$. Корень подходит.

Ответ: -2.

3) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 2x + 4 \ge 0$.

Дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 4$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, трехчлен положителен при любых $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Преобразуем левую часть уравнения: $3(x^2 - 2x) + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x^2 - 2x + 4}$. Так как $x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2+3 \ge 3$, то $t \ge \sqrt{3}$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - 2x + 4$, откуда $x^2 - 2x = t^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$3(t^2 - 4) + 2 - t = 0$

$3t^2 - 12 + 2 - t = 0$

$3t^2 - t - 10 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$t_1 = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge \sqrt{3} \approx 1.732$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 > \sqrt{3}$).

$t_2 = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 2x + 4 = 4$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Ответ: 0; 2.

4) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = -64; \end{cases}$

ОДЗ для данной системы не требуется, так как кубический корень определен для любого действительного числа.

Введем замену: $a = \sqrt[3]{x}$, $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда первое уравнение системы примет вид: $a + b = 3$.

Из второго уравнения системы $xy = -64$ следует, что $(\sqrt[3]{x})^3 (\sqrt[3]{y})^3 = -64$, то есть $a^3 b^3 = -64$, или $(ab)^3 = (-4)^3$. Отсюда $ab = -4$.

Получаем систему уравнений для $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 3, \\ ab = -4; \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 3z - 4 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $z_1 = 4$, $z_2 = -1$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $a = 4, b = -1$.

2. $a = -1, b = 4$.

Выполним обратную замену для каждого случая:

1. $\sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 4^3 = 64$.

$\sqrt[3]{y} = -1 \implies y = (-1)^3 = -1$.

Получаем решение $(64, -1)$.

2. $\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$.

$\sqrt[3]{y} = 4 \implies y = 4^3 = 64$.

Получаем решение $(-1, 64)$.

Ответ: (64, -1), (-1, 64).

5) $\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{8 - x} = 3$

ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$, так как кубический корень определен для любых действительных чисел.

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{x + 1})^3 + (\sqrt[3]{8 - x})^3 + 3\sqrt[3]{(x+1)(8-x)}(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x}) = 3^3$

$(x+1) + (8-x) + 3\sqrt[3]{(x+1)(8-x)}(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x}) = 27$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{8-x})$ равно 3 по условию исходного уравнения. Подставим это значение:

$9 + 3\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} \cdot 3 = 27$

$9 + 9\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} = 27$

$9\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} = 18$

$\sqrt[3]{(x+1)(8-x)} = 2$

Возведем обе части полученного уравнения в куб:

$(x+1)(8-x) = 2^3$

$8x - x^2 + 8 - x = 8$

$-x^2 + 7x = 0$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x-7) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Поскольку возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, проверка не обязательна, но мы можем ее выполнить для уверенности.

При $x=0$: $\sqrt[3]{0+1} + \sqrt[3]{8-0} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1+2 = 3$. Верно.

При $x=7$: $\sqrt[3]{7+1} + \sqrt[3]{8-7} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1} = 2+1 = 3$. Верно.

Ответ: 0; 7.

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$;

2) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$;

3) $\sqrt{2x+14} \ge x+3$;

4) $(5-2x)\sqrt{x-1} \le 0$.

2. Для каждого значения параметра a решите неравенство

$a\sqrt{x+1} < 1$.

1)

Решим неравенство $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$.

Данное неравенство равносильно системе, в которой мы требуем, чтобы подкоренное выражение с меньшим значением было неотрицательным, и чтобы одно подкоренное выражение было больше другого:

$ \begin{cases} x+5 > 8-x, \\ 8-x \ge 0. \end{cases} $

Условие $x+5 \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует $x+5 > 8-x \ge 0$.

Решим первое неравенство системы:

$x+5 > 8-x$

$2x > 3$

$x > 1.5$

Решим второе неравенство системы:

$8-x \ge 0$

$x \le 8$

Найдем пересечение решений: $x > 1.5$ и $x \le 8$.

Таким образом, решение неравенства: $1.5 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (1.5, 8]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) \ge 0, \\ f(x) \le (g(x))^2. \end{cases} $

В нашем случае система выглядит так:

$ \begin{cases} 2x^2-11x+9 \ge 0, \\ x-3 \ge 0, \\ 2x^2-11x+9 \le (x-3)^2. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $2x^2-11x+9 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2-11x+9 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$. Корни $x_1 = \frac{11-7}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{11+7}{4} = 4.5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty)$.

2. $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Решение: $x \in [3, \infty)$.

3. $2x^2-11x+9 \le (x-3)^2 \implies 2x^2-11x+9 \le x^2-6x+9 \implies x^2-5x \le 0 \implies x(x-5) \le 0$. Корни $x=0$ и $x=5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [0, 5]$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $( (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty) ) \cap [3, \infty) \cap [0, 5]$.

Пересечение первых двух множеств дает $[4.5, \infty)$.

Пересечение $[4.5, \infty)$ и $[0, 5]$ дает $[4.5, 5]$.

Ответ: $x \in [4.5, 5]$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{2x+14} \ge x+3$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x+3 < 0, \\ 2x+14 \ge 0; \end{cases} \\ \\ \begin{cases} x+3 \ge 0, \\ 2x+14 \ge (x+3)^2. \end{cases} \end{array} \right. $

Рассмотрим первую систему. Она описывает случай, когда правая часть отрицательна (тогда неравенство выполняется при всех $x$ из области определения корня).

$ \begin{cases} x < -3, \\ x \ge -7; \end{cases} \implies x \in [-7, -3). $

Рассмотрим вторую систему. Она описывает случай, когда обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат.

$ \begin{cases} x \ge -3, \\ 2x+14 \ge x^2+6x+9; \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3, \\ x^2+4x-5 \le 0. \end{cases} $

Решим неравенство $x^2+4x-5 \le 0$. Корни уравнения $x^2+4x-5 = 0$ равны $x_1=-5$ и $x_2=1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение $x \in [-5, 1]$.

Пересекая это решение с условием $x \ge -3$, получаем $x \in [-3, 1]$.

Объединим решения обеих систем: $[-7, -3) \cup [-3, 1]$.

Объединенное решение: $x \in [-7, 1]$.

Ответ: $x \in [-7, 1]$.

4)

Решим неравенство $(5-2x)\sqrt{x-1} \le 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется подкоренным выражением: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

На ОДЗ множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$).

Произведение двух множителей не положительно, если они имеют разные знаки, или если один из них равен нулю. Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, неравенство выполняется в двух случаях:

1. $\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

2. $5-2x \le 0$ (при условии, что $x$ входит в ОДЗ).

$5 \le 2x \implies x \ge 2.5$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1$).

Объединяя все найденные решения, получаем: $x=1$ или $x \ge 2.5$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2.5, \infty)$.

2.

Для каждого значения параметра $a$ решим неравенство $a\sqrt{x+1} < 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

Случай 1: $a=0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x+1} < 1$, что равносильно $0 < 1$. Это верное числовое неравенство, поэтому решением является вся область допустимых значений.

Решение: $x \in [-1, \infty)$.

Случай 2: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, знак неравенства не изменится:

$\sqrt{x+1} < \frac{1}{a}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$x+1 < \frac{1}{a^2}$.

$x < \frac{1}{a^2} - 1$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge -1$), получаем решение для этого случая:

$-1 \le x < \frac{1}{a^2} - 1$.

Решение: $x \in [-1, \frac{1}{a^2}-1)$.

Случай 3: $a < 0$.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $a$, знак неравенства изменится на противоположный:

$\sqrt{x+1} > \frac{1}{a}$.

Так как $a < 0$, то $\frac{1}{a} < 0$. Левая часть неравенства $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна на ОДЗ. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Решение: $x \in [-1, \infty)$.

Объединим результаты:

Ответ:
если $a \le 0$, то $x \in [-1, \infty)$;
если $a > 0$, то $x \in [-1, \frac{1}{a^2}-1)$.

Самостоятельная работа № 18

Радианная мера угла

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $12^\circ$; 2) $330^\circ$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{20}$; 2) $1\frac{2}{3}\pi$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $283^\circ$; 2) $\frac{\pi}{9}$; 3) $-\frac{4\pi}{3}$; 4) $-4$?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(0; -1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; 2) $P_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; 2) $\frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) 12°

Для перевода градусов в радианы используется формула: $ \alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180°} $.
Подставим значение угла в градусах в формулу:
$ 12° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{12\pi}{180} $.
Сократим дробь на 12:
$ \frac{12\pi}{180} = \frac{\pi}{15} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{15} $.

2) 330°

Используем ту же формулу для перевода градусов в радианы:
$ 330° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{330\pi}{180} $.
Сократим дробь на 10, а затем на 3:
$ \frac{33\pi}{18} = \frac{11\pi}{6} $.
Ответ: $ \frac{11\pi}{6} $.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $ \frac{\pi}{20} $

Для перевода радиан в градусы используется формула: $ \alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180°}{\pi} $.
Подставим значение угла в радианах в формулу:
$ \frac{\pi}{20} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{20} = 9° $.
Ответ: $ 9° $.

2) $ 1\frac{2}{3}\pi $

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:
$ 1\frac{2}{3}\pi = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi = \frac{5\pi}{3} $.
Теперь переведем радианы в градусы:
$ \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{5 \cdot 180°}{3} = 5 \cdot 60° = 300° $.
Ответ: $ 300° $.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на угол:

1) 283°

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов:
I четверть: $ 0° < \alpha < 90° $
II четверть: $ 90° < \alpha < 180° $
III четверть: $ 180° < \alpha < 270° $
IV четверть: $ 270° < \alpha < 360° $
Угол $ 283° $ удовлетворяет условию $ 270° < 283° < 360° $, следовательно, точка находится в IV координатной четверти.
Ответ: в IV четверти.

2) $ \frac{\pi}{9} $

Сравним угол с границами четвертей в радианах:
I четверть: $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $
Так как $ 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2} $ (поскольку $ \frac{1}{9} < \frac{1}{2} $), точка находится в I координатной четверти.
Ответ: в I четверти.

3) $ -\frac{4\pi}{3} $

Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $ 2\pi $ (полный оборот):
$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Сравним полученный угол с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $ (поскольку $ \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1 $). Это соответствует II координатной четверти.
Ответ: во II четверти.

4) -4

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.
Границы четвертей в радианах: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57; \pi \approx 3.14; \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $.
Найдем положительный угол, эквивалентный -4 радианам: $ -4 + 2\pi \approx -4 + 2 \cdot 3.14 = -4 + 6.28 = 2.28 $ радиан.
Сравним $ 2.28 $ с границами: $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2.28 < 3.14 \approx \pi $.
Угол находится во II координатной четверти.
Ответ: во II четверти.

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $ P_0(0; -1) $, чтобы получить точку:

Начальная точка $ P_0(0; -1) $ соответствует углу $ \alpha_0 = -\frac{\pi}{2} $ или $ \alpha_0 = \frac{3\pi}{2} $. Угол поворота $ \beta $ находится как разность конечного угла $ \alpha_f $ и начального угла $ \alpha_0 $: $ \beta = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

1) $ P_1(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Найдем угол $ \alpha_1 $, соответствующий точке $ P_1 $.
$ \cos(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\alpha_1) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Это соответствует углу в IV четверти: $ \alpha_1 = -\frac{\pi}{4} $ (или $ \frac{7\pi}{4} $).
Найдем угол поворота $ \beta $:
$ \beta = \alpha_1 - \alpha_0 + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ P_2(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}) $

Найдем угол $ \alpha_2 $, соответствующий точке $ P_2 $.
$ \cos(\alpha_2) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(\alpha_2) = \frac{1}{2} $.
Это соответствует углу во II четверти: $ \alpha_2 = \frac{5\pi}{6} $.
Найдем угол поворота $ \beta $:
$ \beta = \alpha_2 - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} - \frac{9\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $ P_0(1; 0) $ на углы:

Координаты точки, полученной поворотом $ P_0(1; 0) $ на угол $ \alpha $, равны $ (\cos \alpha; \sin \alpha) $.

1) $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Слагаемое $ 2\pi k $ означает целое число полных оборотов и не влияет на конечное положение точки. Поэтому достаточно найти координаты для угла $ \alpha = -\frac{\pi}{6} $.
$ x = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ y = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $
Координаты точки: $ (\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}) $.
Ответ: $ (\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}) $.

2) $ \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

В этом случае положение точки зависит от целого числа $ k $. Найдем координаты для различных значений $ k $.
При $ k=0 $: угол $ \alpha = 0 $. Координаты: $ (\cos 0; \sin 0) = (1; 0) $.
При $ k=1 $: угол $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $. Координаты: $ (\cos \frac{2\pi}{3}; \sin \frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) $.
При $ k=2 $: угол $ \alpha = \frac{4\pi}{3} $. Координаты: $ (\cos \frac{4\pi}{3}; \sin \frac{4\pi}{3}) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) $.
При $ k=3 $: угол $ \alpha = \frac{6\pi}{3} = 2\pi $, что соответствует углу 0. Точка совпадает с точкой для $ k=0 $.
Таким образом, мы получаем три различные точки.
Ответ: $ (1; 0), (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}) $.