Страница 36 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Степень с рациональным показателем и её свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}}$

2) $32^{-\frac{2}{5}}$

3) $(12\frac{1}{4})^{1,5}$

2. Найдите область определения функции:

1) $y = (x-2)^{3,4}$

2) $y = (5-4x-x^2)^{\frac{1}{7}}$

3. Упростите выражение:

1) $x^{-1,3} \cdot x^{2,5}$

2) $x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}}$

3) $(x^{-6})^{0,6}$

4) $(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}}$

5) $(\sqrt[4]{a^{-3}})^9 \cdot (a^9)^{\frac{3}{16}}$

4. Постройте график функции $y = ((x-1)^{\frac{1}{9}})^{-9}$

5. Упростите выражение $\frac{x^6 - 1}{2x^6 - 6} - \frac{1}{x^6} + \frac{3x^6 - x^3 - 6}{2x^3 - 6x^6}$

1. Найдите значение выражения:

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, нужно извлечь кубический корень из 8.
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Ответ: 2.

2) Чтобы найти значение выражения $32^{\frac{2}{5}}$, можно сначала извлечь корень пятой степени из 32, а затем возвести результат во вторую степень.
$32^{\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4$, так как $2^5 = 32$.
Ответ: 4.

3) Сначала представим смешанное число и десятичную дробь в виде обыкновенных дробей.
$12\frac{1}{4} = \frac{49}{4}$
$1,5 = \frac{3}{2}$
Теперь вычислим значение выражения:
$(12\frac{1}{4})^{1,5} = (\frac{49}{4})^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{\frac{49}{4}})^3 = (\frac{7}{2})^3 = \frac{7^3}{2^3} = \frac{343}{8}$.
Ответ: $\frac{343}{8}$.

2. Найдите область определения функции:

1) Функция $y = (x - 2)^{3,4}$. Показатель степени $3,4$ является рациональным, но не целым числом. По определению, степенная функция с таким показателем определена для неотрицательных значений основания.
Следовательно, должно выполняться условие: $x - 2 \ge 0$.
$x \ge 2$.
Область определения: $[2; +\infty)$.
Ответ: $[2; +\infty)$.

2) Функция $y = (5 - 4x - x^2)^{\frac{1}{7}}$. Показатель степени $\frac{1}{7}$ является рациональным числом. Несмотря на то, что корень седьмой степени определен для любых действительных чисел, по стандартному определению степенной функции с рациональным показателем основание должно быть неотрицательным.
Требуется, чтобы $5 - 4x - x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1 и изменим знак: $x^2 + 4x - 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).
Таким образом, $-5 \le x \le 1$.
Область определения: $[-5; 1]$.
Ответ: $[-5; 1]$.

3. Упростите выражение:

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$x^{-1,3} \cdot x^{2,5} = x^{-1,3 + 2,5} = x^{1,2}$.
Ответ: $x^{1,2}$.

2) При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя:
$x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{12} - \frac{5}{8}} = x^{\frac{14}{24} - \frac{15}{24}} = x^{-\frac{1}{24}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{24}}$.

3) При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$(x^{-6})^{0,6} = x^{-6 \cdot 0,6} = x^{-3,6}$.
Ответ: $x^{-3,6}$.

4) При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель:
$(x^{\frac{2}{3}} y^9)^{\frac{18}{25}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{18}{25}} \cdot (y^9)^{\frac{18}{25}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{25}} \cdot y^{9 \cdot \frac{18}{25}} = x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{162}{25}}$.
Ответ: $x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{162}{25}}$.

5) Сначала преобразуем каждый множитель, используя свойства степени, а затем перемножим результаты.
$(\sqrt[4]{a^{-3}})^{\frac{4}{9}} = (a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{9}} = a^{-\frac{1}{3}}$.
$(a^{\frac{8}{9}})^{\frac{3}{16}} = a^{\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{16}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{6}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{6}}$.

4. Постройте график функции $y = ((x - 1)^{\frac{1}{9}})^{-9}$

Сначала упростим формулу функции:
$y = ((x - 1)^{\frac{1}{9}})^{-9} = (x - 1)^{\frac{1}{9} \cdot (-9)} = (x - 1)^{-1} = \frac{1}{x-1}$.
Область определения функции: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вправо по оси Ox.
Описание графика:
1. График имеет вертикальную асимптоту — прямую $x=1$.
2. График имеет горизонтальную асимптоту — прямую $y=0$ (ось абсцисс).
3. График состоит из двух ветвей.
4. Одна ветвь расположена в первой координатной четверти относительно асимптот (при $x > 1$), проходит через точки $(2, 1)$, $(3, 1/2)$, $(1.5, 2)$.
5. Вторая ветвь расположена в третьей координатной четверти относительно асимптот (при $x < 1$), проходит через точки $(0, -1)$, $(-1, -1/2)$, $(0.5, -2)$.
Ответ: Графиком является гипербола $y = \frac{1}{x-1}$ с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

5. Упростите выражение $\frac{x^{\frac{1}{6}} - 1}{2x^{\frac{1}{6}} - 6} - \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} - 6}{2x^{\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{1}{6}}}$

Для упрощения введем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$. Тогда $a^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{1}{3}}$.
Выражение примет вид:
$\frac{a - 1}{2a - 6} - \frac{1}{a} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a^2 - 6a}$
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{a - 1}{2(a - 3)} - \frac{1}{a} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$
Приведем все дроби к общему знаменателю $2a(a - 3)$:
$\frac{a(a - 1)}{2a(a - 3)} - \frac{2(a - 3)}{2a(a - 3)} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$
Объединим дроби:
$\frac{a(a - 1) - 2(a - 3) + (3a - a^2 - 6)}{2a(a - 3)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{a^2 - a - 2a + 6 + 3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)} = \frac{(a^2 - a^2) + (-a - 2a + 3a) + (6 - 6)}{2a(a - 3)} = \frac{0}{2a(a - 3)} = 0$.
Данное равенство верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$ и $a \neq 3$.
Ответ: 0.

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $\sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7}$

2) $\sqrt{x + 7} = 5 - x$

3) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24$

4) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$

5) $\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x - 8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 8}} = 2$

1) $\sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7}$

Так как показатели корней чётные (8), то для существования корней в действительных числах подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Равенство корней одинаковой степени равносильно равенству подкоренных выражений. Таким образом, уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 3x - 1 = x^2 + 8x - 7 \\ 3x - 1 \ge 0 \end{cases} $

Условие $x^2 + 8x - 7 \ge 0$ будет выполнено автоматически, так как $x^2 + 8x - 7 = 3x - 1$, а мы уже требуем, чтобы $3x - 1$ было неотрицательным.

Решим уравнение:

$x^2 + 8x - 7 - 3x + 1 = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -6. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Теперь проверим корни по условию $3x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{3}$.

Для $x_1 = 1$: $1 \ge \frac{1}{3}$. Условие выполняется, корень подходит.

Для $x_2 = -6$: $-6 \ge \frac{1}{3}$. Условие не выполняется, это посторонний корень.

Ответ: $1$

2) $\sqrt{x + 7} = 5 - x$

Данное уравнение равносильно системе, в которой мы возводим обе части в квадрат и требуем, чтобы правая часть была неотрицательной (так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным):

$ \begin{cases} x + 7 = (5 - x)^2 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы получаем условие: $x \le 5$.

Решим первое уравнение системы:

$x + 7 = 25 - 10x + x^2$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 18. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \le 5$:

$x_1 = 2$: $2 \le 5$. Условие выполняется, корень подходит.

$x_2 = 9$: $9 \le 5$. Условие не выполняется, это посторонний корень.

Ответ: $2$

3) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24$

Преобразуем правую часть уравнения: $6x - 24 = 6(x-4)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x-4)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x-4)$:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x-4) = 0$

$(x - 4)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Проверим, определен ли корень при этом значении $x$: $x^2 - x - 20 = 4^2 - 4 - 20 = 16 - 24 = -8$. Подкоренное выражение отрицательно, значит, $x=4$ не является решением.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого случая: $x^2 - x - 20 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$ равны $x_1=5$ и $x_2=-4$. Так как ветви параболы направлены вверх, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 - x - 20} = 6$ в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -7$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ:

$x_1 = 8$: $8 \in [5, \infty)$. Корень подходит.

$x_2 = -7$: $-7 \in (-\infty, -4]$. Корень подходит.

Ответ: $-7; 8$

4) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow x \ge 2$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{x + 6} = 2 + \sqrt{x - 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x + 6})^2 = (2 + \sqrt{x - 2})^2$

$x + 6 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + (x - 2)$

$x + 6 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2}$

Приведем подобные слагаемые:

$4 = 4\sqrt{x - 2}$

$1 = \sqrt{x - 2}$

Снова возведем в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 2})^2$

$1 = x - 2$

$x = 3$

Проверим корень $x=3$ на принадлежность ОДЗ: $3 \ge 2$. Условие выполняется. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3 + 6} - \sqrt{3 - 2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$. Равенство $2=2$ верное.

Ответ: $3$

5) $\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x - 8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 8}} = 2$

ОДЗ: $x - 8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8$. Также выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.

Заметим, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов. Сделаем замену: пусть $y = \sqrt{x-8}$, где $y \ge 0$. Тогда $y^2 = x - 8 \Rightarrow x = y^2 + 8$.

Подставим это в выражения под внешними корнями:

Первое выражение: $x - 4 + 4\sqrt{x - 8} = (y^2 + 8) - 4 + 4y = y^2 + 4y + 4 = (y+2)^2$.

Второе выражение: $x - 4 - 4\sqrt{x - 8} = (y^2 + 8) - 4 - 4y = y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(y+2)^2} - \sqrt{(y-2)^2} = 2$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|y+2| - |y-2| = 2$

Поскольку $y = \sqrt{x-8} \ge 0$, то $y+2$ всегда положительно, и $|y+2| = y+2$.

$y+2 - |y-2| = 2$

$y - |y-2| = 0 \Rightarrow y = |y-2|$

Это уравнение означает, что $y$ неотрицательно (что мы уже знаем) и $y = \pm(y-2)$.

1) $y = y - 2 \Rightarrow 0 = -2$. Решений нет.

2) $y = -(y - 2) \Rightarrow y = -y + 2 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.

Мы нашли единственное возможное значение для $y$. Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x-8} = 1$

Возведем в квадрат: $x-8 = 1 \Rightarrow x = 9$.

Проверим корень. $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 8$). Подставим в исходное уравнение:

$\sqrt{9 - 4 + 4\sqrt{9 - 8}} - \sqrt{9 - 4 - 4\sqrt{9 - 8}} = \sqrt{5 + 4\sqrt{1}} - \sqrt{5 - 4\sqrt{1}} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

Равенство $2=2$ верное.

Ответ: $9$