Страница 34 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня n-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите $3\left(-\frac{10}{18}\right)^{10} - 1,4\sqrt[3]{1\,000\,000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[4]{80}\right)^4.$

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[7]{x-3})^7;$

2) $y = (\sqrt[8]{x+4})^8.$

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2;$

2) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}.$

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $a\sqrt[6]{x} = 0;$

2) $ax^6 = 3.$

5. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^7 + \sqrt[4]{x} = y^7 + \sqrt[4]{y}, \\ 7x^2 - y^2 = 24. \end{cases} $

1. Выполним вычисления по частям:
1) $3(-\sqrt[10]{18})^{10} = 3 \cdot (\sqrt[10]{18})^{10} = 3 \cdot 18 = 54$, так как показатель степени 10 — чётное число.
2) $1,4\sqrt[3]{1000000} = 1,4\sqrt[3]{100^3} = 1,4 \cdot 100 = 140$.
3) $(\frac{1}{2}\sqrt[4]{80})^4 = (\frac{1}{2})^4 \cdot (\sqrt[4]{80})^4 = \frac{1}{16} \cdot 80 = \frac{80}{16} = 5$.
Теперь сложим полученные результаты: $54 - 140 + 5 = -86 + 5 = -81$.
Ответ: $-81$.

2.

1) $y = (\sqrt[7]{x-3})^7$
Поскольку корень нечётной степени (7), область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt[7]{a})^7 = a$.
Следовательно, функция принимает вид $y = x-3$.
Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(3, 0)$ и $(0, -3)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=x-3$.

2) $y = (\sqrt[8]{x+4})^8$
Поскольку корень чётной степени (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Область определения функции (ОДЗ): $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt[8]{a})^8 = a$.
Следовательно, функция принимает вид $y = x+4$ при условии $x \ge -4$.
Графиком является луч, выходящий из точки $(-4, 0)$ и являющийся частью прямой $y=x+4$.
Ответ: Графиком функции является луч $y=x+4$ с началом в точке $(-4, 0)$.

3.

1) $\sqrt[4]{3x+1} \le 2$
Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным:
$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{3x+1})^4 \le 2^4$
$3x+1 \le 16$
$3x \le 15$
$x \le 5$
Объединяя с ОДЗ, получаем решение: $-\frac{1}{3} \le x \le 5$.
Ответ: $[-\frac{1}{3}; 5]$.

2) $\sqrt[10]{x^2-6} > \sqrt[10]{5x}$
Найдём ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x^2-6 \ge 0 \\ 5x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty) \\ x \ge 0 \end{cases}$
Пересечение этих условий даёт ОДЗ: $x \ge \sqrt{6}$.
Возведём обе части неравенства в 10-ю степень:
$x^2-6 > 5x$
$x^2-5x-6 > 0$
Найдём корни уравнения $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=6$ и $x_2=-1$.
Решение неравенства $x^2-5x-6 > 0$ — это $x \in (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$.
Пересекаем это решение с ОДЗ ($x \ge \sqrt{6}$):
Так как $\sqrt{6} \approx 2,45$, пересечением является интервал $(6, \infty)$.
Ответ: $(6; +\infty)$.

4.

1) $a\sqrt[6]{x} = 0$
Рассмотрим два случая.
Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[6]{x} = 0$, или $0=0$. Это верное равенство для всех $x$, при которых выражение $\sqrt[6]{x}$ определено, то есть для $x \ge 0$.
Если $a \ne 0$, можно разделить обе части уравнения на $a$:
$\sqrt[6]{x} = 0$
Возведя обе части в 6-ю степень, получаем $x=0$.
Ответ: если $a=0$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \ne 0$, то $x=0$.

2) $ax^6 = 3$
Рассмотрим разные значения параметра $a$.
Если $a=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^6 = 3$, или $0=3$, что неверно. Следовательно, решений нет.
Если $a \ne 0$, разделим обе части на $a$:
$x^6 = \frac{3}{a}$
Левая часть уравнения, $x^6$, всегда неотрицательна. Поэтому для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $\frac{3}{a} \ge 0$. Так как $3>0$, это условие выполняется при $a>0$.
Если $a > 0$, то уравнение имеет два корня: $x = \pm \sqrt[6]{\frac{3}{a}}$.
Если $a < 0$, то правая часть отрицательна, и действительных корней нет.
Ответ: если $a > 0$, то $x = \pm \sqrt[6]{\frac{3}{a}}$; если $a \le 0$, то решений нет.

5. Решите систему уравнений $\begin{cases} x^7 + \sqrt[4]{x} = y^7 + \sqrt[4]{y}, \\ 7x^2 - y^2 = 24. \end{cases}$
Из наличия корней четвёртой степени $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[4]{y}$ следует ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Рассмотрим функцию $f(t) = t^7 + \sqrt[4]{t}$ на области определения $t \ge 0$.
Первое уравнение системы можно записать как $f(x) = f(y)$.
Найдём производную функции: $f'(t) = 7t^6 + \frac{1}{4}t^{-3/4} = 7t^6 + \frac{1}{4\sqrt[4]{t^3}}$.
При $t>0$ оба слагаемых в производной положительны, значит $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.
Из того, что функция строго возрастающая, равенство $f(x)=f(y)$ возможно только при $x=y$.
Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:
$7x^2 - x^2 = 24$
$6x^2 = 24$
$x^2 = 4$
$x = 2$ или $x = -2$.
Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), корень $x=-2$ является посторонним.
Таким образом, $x=2$. Поскольку $y=x$, то $y=2$.
Проверим решение $(2, 2)$:
1) $2^7 + \sqrt[4]{2} = 2^7 + \sqrt[4]{2}$ (верно)
2) $7(2^2) - 2^2 = 7 \cdot 4 - 4 = 28 - 4 = 24$ (верно)
Ответ: $(2; 2)$.

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} $

2) $ \sqrt[9]{25 \cdot 54} \cdot \sqrt[9]{55 \cdot 2^{22}} $

3) $ \frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}} $

2. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[8]{\sqrt[3]{c}} $

2) $ \sqrt[36]{m^{24}} $

3) $ \sqrt[14]{t^{18}} $

4) $ \frac{\sqrt{54}}{2} $

5) $ \sqrt[10]{c^3 \sqrt{c^7}} $

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $ \sqrt[3]{40} $

2) $ \sqrt[4]{162} $

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $ -4\sqrt[3]{5} $

2) $ -10 \sqrt[4]{0,24} $

5. Сократите дробь:

1) $ \frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2} $

2) $ \frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} $

3) $ \frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}} $

1. Найдите значение выражения:

1) Используем свойство произведения корней n-ой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$

Так как $625 = 5^4$, то:

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

Ответ: $5$.

2) Используя свойство произведения корней, объединим выражения под один корень:

$\sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4} \cdot \sqrt[9]{5^5 \cdot 2^{22}} = \sqrt[9]{(2^5 \cdot 5^4) \cdot (5^5 \cdot 2^{22})}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[9]{(2^5 \cdot 2^{22}) \cdot (5^4 \cdot 5^5)} = \sqrt[9]{2^{5+22} \cdot 5^{4+5}} = \sqrt[9]{2^{27} \cdot 5^9}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt[9]{2^{27}} \cdot \sqrt[9]{5^9} = 2^{27/9} \cdot 5^{9/9} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$

Ответ: $40$.

3) Используем свойство частного корней n-ой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3]{\frac{250}{54}}$

Сократим подкоренную дробь:

$\frac{250}{54} = \frac{125 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{125}{27}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

2. Упростите выражение:

1) Используем свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[8]{\sqrt[3]{c}} = \sqrt[8 \cdot 3]{c} = \sqrt[24]{c}$

Ответ: $\sqrt[24]{c}$.

2) Представим корень в виде степени с рациональным показателем и сократим его:

$\sqrt[36]{m^{24}} = m^{24/36} = m^{2/3} = \sqrt[3]{m^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2}$.

3) Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2. Так как исходный показатель корня (14) - четный, результат должен быть неотрицательным.

$\sqrt[14]{t^{18}} = \sqrt[7 \cdot 2]{t^{9 \cdot 2}} = \sqrt[7]{|t|^9}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[7]{|t|^9} = \sqrt[7]{|t|^7 \cdot |t|^2} = |t|\sqrt[7]{|t|^2} = |t|\sqrt[7]{t^2}$

Ответ: $|t|\sqrt[7]{t^2}$.

4) Сначала упростим выражение под внутренним корнем, а затем воспользуемся свойством корня из корня:

$\sqrt{\sqrt[5]{54/2}} = \sqrt{\sqrt[5]{27}}$

$\sqrt[2 \cdot 5]{27} = \sqrt[10]{27}$

Ответ: $\sqrt[10]{27}$.

5) Внесем множитель $c^3$ под знак внутреннего квадратного корня, возведя его в квадрат:

$\sqrt[10]{c^3 \sqrt{c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt{(c^3)^2 \cdot c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt{c^6 \cdot c^7}}$

Сложим показатели степеней под внутренним корнем:

$\sqrt[10]{\sqrt{c^{13}}}$

Воспользуемся свойством корня из корня:

$\sqrt[10 \cdot 2]{c^{13}} = \sqrt[20]{c^{13}}$

Ответ: $\sqrt[20]{c^{13}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Разложим подкоренное число на множители, один из которых является кубом целого числа:

$40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$

Ответ: $2\sqrt[3]{5}$.

2) Разложим подкоренное число на множители, один из которых является четвертой степенью целого числа:

$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$

$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$

Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) Вносим множитель 4 под знак кубического корня, возведя его в третью степень. Знак "минус" остается перед корнем.

$-4\sqrt[3]{5} = -\sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = -\sqrt[3]{64 \cdot 5} = -\sqrt[3]{320}$

Ответ: $-\sqrt[3]{320}$.

2) Вносим множитель 10 под знак корня четвертой степени, возведя его в четвертую степень. Знак "минус" остается перед корнем.

$-10\sqrt[4]{0,24} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0,24} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0,24} = -\sqrt[4]{2400}$

Ответ: $-\sqrt[4]{2400}$.

5. Сократите дробь:

1) Заметим, что числитель является разностью квадратов, если сделать замену $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.

$\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2} = \frac{y^2 - 4}{y - 2} = \frac{(y-2)(y+2)}{y-2}$

Сократив дробь на $(y-2)$, получим $y+2$. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} + 2$

Ответ: $\sqrt[6]{x} + 2$.

2) Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе это $\sqrt[4]{x^3}$, в знаменателе — $\sqrt[4]{x}$.

$\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} = \frac{x^{3/4} + x^{4/4}}{x^{2/4} + x^{1/4}} = \frac{x^{3/4}(1+x^{1/4})}{x^{1/4}(x^{1/4}+1)}$

Сокращаем дробь на $(1+x^{1/4})$:

$\frac{x^{3/4}}{x^{1/4}} = x^{3/4 - 1/4} = x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$

Ответ: $\sqrt{x}$.

3) Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{2}$.

$x\sqrt{x} - 2\sqrt{2} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{2})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)$

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + \sqrt{2x} + 2)$:

$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$.