Номер 12, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} $

2) $ \sqrt[9]{25 \cdot 54} \cdot \sqrt[9]{55 \cdot 2^{22}} $

3) $ \frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}} $

2. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[8]{\sqrt[3]{c}} $

2) $ \sqrt[36]{m^{24}} $

3) $ \sqrt[14]{t^{18}} $

4) $ \frac{\sqrt{54}}{2} $

5) $ \sqrt[10]{c^3 \sqrt{c^7}} $

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $ \sqrt[3]{40} $

2) $ \sqrt[4]{162} $

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $ -4\sqrt[3]{5} $

2) $ -10 \sqrt[4]{0,24} $

5. Сократите дробь:

1) $ \frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2} $

2) $ \frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} $

3) $ \frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}} $

1. Найдите значение выражения:

1) Используем свойство произведения корней n-ой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$

Так как $625 = 5^4$, то:

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

Ответ: $5$.

2) Используя свойство произведения корней, объединим выражения под один корень:

$\sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4} \cdot \sqrt[9]{5^5 \cdot 2^{22}} = \sqrt[9]{(2^5 \cdot 5^4) \cdot (5^5 \cdot 2^{22})}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[9]{(2^5 \cdot 2^{22}) \cdot (5^4 \cdot 5^5)} = \sqrt[9]{2^{5+22} \cdot 5^{4+5}} = \sqrt[9]{2^{27} \cdot 5^9}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt[9]{2^{27}} \cdot \sqrt[9]{5^9} = 2^{27/9} \cdot 5^{9/9} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$

Ответ: $40$.

3) Используем свойство частного корней n-ой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3]{\frac{250}{54}}$

Сократим подкоренную дробь:

$\frac{250}{54} = \frac{125 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{125}{27}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

2. Упростите выражение:

1) Используем свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[8]{\sqrt[3]{c}} = \sqrt[8 \cdot 3]{c} = \sqrt[24]{c}$

Ответ: $\sqrt[24]{c}$.

2) Представим корень в виде степени с рациональным показателем и сократим его:

$\sqrt[36]{m^{24}} = m^{24/36} = m^{2/3} = \sqrt[3]{m^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2}$.

3) Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2. Так как исходный показатель корня (14) - четный, результат должен быть неотрицательным.

$\sqrt[14]{t^{18}} = \sqrt[7 \cdot 2]{t^{9 \cdot 2}} = \sqrt[7]{|t|^9}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[7]{|t|^9} = \sqrt[7]{|t|^7 \cdot |t|^2} = |t|\sqrt[7]{|t|^2} = |t|\sqrt[7]{t^2}$

Ответ: $|t|\sqrt[7]{t^2}$.

4) Сначала упростим выражение под внутренним корнем, а затем воспользуемся свойством корня из корня:

$\sqrt{\sqrt[5]{54/2}} = \sqrt{\sqrt[5]{27}}$

$\sqrt[2 \cdot 5]{27} = \sqrt[10]{27}$

Ответ: $\sqrt[10]{27}$.

5) Внесем множитель $c^3$ под знак внутреннего квадратного корня, возведя его в квадрат:

$\sqrt[10]{c^3 \sqrt{c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt{(c^3)^2 \cdot c^7}} = \sqrt[10]{\sqrt{c^6 \cdot c^7}}$

Сложим показатели степеней под внутренним корнем:

$\sqrt[10]{\sqrt{c^{13}}}$

Воспользуемся свойством корня из корня:

$\sqrt[10 \cdot 2]{c^{13}} = \sqrt[20]{c^{13}}$

Ответ: $\sqrt[20]{c^{13}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Разложим подкоренное число на множители, один из которых является кубом целого числа:

$40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$

Ответ: $2\sqrt[3]{5}$.

2) Разложим подкоренное число на множители, один из которых является четвертой степенью целого числа:

$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$

$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$

Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) Вносим множитель 4 под знак кубического корня, возведя его в третью степень. Знак "минус" остается перед корнем.

$-4\sqrt[3]{5} = -\sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = -\sqrt[3]{64 \cdot 5} = -\sqrt[3]{320}$

Ответ: $-\sqrt[3]{320}$.

2) Вносим множитель 10 под знак корня четвертой степени, возведя его в четвертую степень. Знак "минус" остается перед корнем.

$-10\sqrt[4]{0,24} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0,24} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0,24} = -\sqrt[4]{2400}$

Ответ: $-\sqrt[4]{2400}$.

5. Сократите дробь:

1) Заметим, что числитель является разностью квадратов, если сделать замену $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.

$\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2} = \frac{y^2 - 4}{y - 2} = \frac{(y-2)(y+2)}{y-2}$

Сократив дробь на $(y-2)$, получим $y+2$. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} + 2$

Ответ: $\sqrt[6]{x} + 2$.

2) Вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе это $\sqrt[4]{x^3}$, в знаменателе — $\sqrt[4]{x}$.

$\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} = \frac{x^{3/4} + x^{4/4}}{x^{2/4} + x^{1/4}} = \frac{x^{3/4}(1+x^{1/4})}{x^{1/4}(x^{1/4}+1)}$

Сокращаем дробь на $(1+x^{1/4})$:

$\frac{x^{3/4}}{x^{1/4}} = x^{3/4 - 1/4} = x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$

Ответ: $\sqrt{x}$.

3) Разложим знаменатель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt{x}$ и $b=\sqrt{2}$.

$x\sqrt{x} - 2\sqrt{2} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{2})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)$

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + \sqrt{2x} + 2)$:

$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$.