Номер 6, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2x-1}$;

2) $y = \left| \frac{1}{2x-1} \right|$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2-3x}$;

2) $y = \sqrt{2-3|x|}$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\left| 3|x| - 2 \right| = a(x-4)$ имеет три корня?

1) $y = \frac{1}{2x-1}$

График функции $y = \frac{1}{2x-1}$ можно построить с помощью преобразований графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{2(x - 1/2)}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, расположенная в I и III координатных четвертях.
2. Сжимаем график $y = \frac{1}{x}$ к оси Y в 2 раза. Получаем график функции $y = \frac{1}{2x}$. Вертикальная асимптота $x=0$ не меняется, горизонтальная $y=0$ тоже.
3. Сдвигаем полученный график вправо на $1/2$ единицы. Получаем график искомой функции $y = \frac{1}{2(x - 1/2)} = \frac{1}{2x-1}$.

В результате получаем гиперболу. Вертикальная асимптота смещается в точку $x = 1/2$. Горизонтальная асимптота остается $y = 0$. График проходит через точки, например, $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1/2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Он получен из графика $y = 1/x$ путем сжатия к оси Y в 2 раза и сдвига вправо на $1/2$.

2) $y = |\frac{1}{2x - 1}|$

График функции $y = |\frac{1}{2x - 1}|$ получается из графика функции $y = \frac{1}{2x - 1}$ с помощью преобразования $y=f(x) \to y=|f(x)|$.

1. Сначала строим график функции $y = \frac{1}{2x - 1}$, как описано в предыдущем пункте.
2. Часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (оси X), оставляем без изменений. Это часть графика, где $2x-1 > 0$, то есть $x > 1/2$.
3. Часть графика, которая находится ниже оси абсцисс, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. Это часть графика, где $2x-1 < 0$, то есть $x < 1/2$.

В результате весь график будет расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Асимптоты остаются прежними: вертикальная $x = 1/2$ и горизонтальная $y = 0$. Точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$.

Ответ: График получен из графика $y = \frac{1}{2x-1}$ путем отражения его части, лежащей под осью X, симметрично относительно оси X. Весь график лежит не ниже оси X.

1) $y = \sqrt{2-3x}$

График функции $y = \sqrt{2-3x}$ можно построить с помощью преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt{-3(x - 2/3)}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(0,0)$ в I координатную четверть.
2. Отражаем график $y = \sqrt{x}$ симметрично относительно оси Y. Получаем график функции $y = \sqrt{-x}$.
3. Сжимаем полученный график к оси Y в 3 раза. Получаем график функции $y = \sqrt{-3x}$.
4. Сдвигаем последний график вправо на $2/3$ единицы. Получаем график искомой функции $y = \sqrt{-3(x-2/3)} = \sqrt{2-3x}$.

Область определения функции: $2-3x \ge 0 \implies x \le 2/3$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(2/3, 0)$ и идущую влево и вверх. График пересекает ось Y в точке $(0, \sqrt{2})$.

Ответ: Графиком является ветвь параболы, выходящая из точки $(2/3, 0)$ и направленная влево-вверх.

2) $y = \sqrt{2-3|x|}$

График функции $y = \sqrt{2-3|x|}$ получается из графика функции $y = \sqrt{2-3x}$ с помощью преобразования $y=f(x) \to y=f(|x|)$.

1. Сначала строим график функции $y = \sqrt{2-3x}$.
2. Оставляем ту часть графика, которая находится правее или на оси ординат (оси Y), то есть для $x \ge 0$. Эта часть графика идет от точки $(0, \sqrt{2})$ до точки $(2/3, 0)$.
3. Убираем часть графика, которая находится левее оси Y (для $x<0$).
4. Оставшуюся часть графика симметрично отражаем относительно оси Y.

Область определения функции: $2-3|x| \ge 0 \implies |x| \le 2/3$, то есть $x \in [-2/3, 2/3]$. Полученный график симметричен относительно оси Y. Он представляет собой "арку", соединяющую точки $(-2/3, 0)$ и $(2/3, 0)$ и достигающую максимума в точке $(0, \sqrt{2})$.

Ответ: График симметричен относительно оси Y, определён на отрезке $[-2/3, 2/3]$, имеет форму арки с вершиной в точке $(0, \sqrt{2})$ и концами в точках $(-2/3, 0)$ и $(2/3, 0)$.

3. При каких значениях параметра a уравнение $|3|x| - 2| = a(x - 4)$ имеет три корня?

Решим задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |3|x| - 2|$ и $y = a(x - 4)$.

1. Построим график функции $y = |3|x| - 2|$.

• Начнем с $y=3x-2$ (прямая).
• Применим преобразование $f(x) \to f(|x|)$, получим $y=3|x|-2$. График для $x \ge 0$ совпадает с $y=3x-2$, а для $x<0$ является его отражением относительно оси Y. Получается "галочка" (V-образный график) с вершиной в точке $(0, -2)$ и пересечениями с осью X в точках $x=\pm 2/3$.
• Применим преобразование $f(x) \to |f(x)|$, получим $y=|3|x|-2|$. Часть графика, лежащая под осью X (между $x=-2/3$ и $x=2/3$), отражается вверх. Вершина $(0,-2)$ переходит в $(0,2)$.

Итоговый график имеет W-образную форму с вершинами в точках $(-2/3, 0)$, $(0, 2)$ и $(2/3, 0)$.

2. Проанализируем график функции $y = a(x - 4)$.

Это семейство прямых, проходящих через точку $(4, 0)$, где параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

3. Найдем количество точек пересечения в зависимости от $a$.

Будем мысленно вращать прямую вокруг точки $(4, 0)$.

• Если $a > 0$, прямая $y=a(x-4)$ отрицательна при $x<4$, а график $y=|3|x|-2|$ всегда неотрицателен. Пересечение возможно только при $x \ge 4$. На этом участке график "W" задается функцией $y=3x-2$. Уравнение $a(x-4)=3x-2$ имеет один корень при $a>3$ и не имеет корней при $0 < a \le 3$. Таким образом, при $a>0$ не может быть трех корней.
• Если $a=0$, прямая $y=0$ (ось X) пересекает график в двух точках: $(-2/3, 0)$ и $(2/3, 0)$. Два корня.
• Если $a < 0$, прямая проходит через I, II и IV квадранты. Количество пересечений меняется, когда прямая проходит через одну из вершин W-образного графика.

Критическое положение — прохождение прямой через вершину $(0, 2)$. Найдем соответствующий наклон $a$:

$2 = a(0 - 4) \implies 2 = -4a \implies a = -1/2$.

При $a = -1/2$ прямая проходит через точку $(0, 2)$. Проверим, есть ли другие точки пересечения. Прямая $y = -1/2(x-4)$ пересекает:

• правую ветвь $y = 3x-2$ (при $x \ge 2/3$). $-1/2(x-4)=3x-2 \implies -x+4=6x-4 \implies 7x=8 \implies x=8/7$. Это одна точка.
• левую ветвь $y = -3x-2$ (при $x \le -2/3$). $-1/2(x-4)=-3x-2 \implies -x+4=-6x-4 \implies 5x=-8 \implies x=-8/5$. Это вторая точка.
• вершину $(0, 2)$. Это третья точка.

Таким образом, при $a = -1/2$ уравнение имеет ровно три корня.

Если вращать прямую дальше (уменьшать $a$ от $-1/2$), то она будет пересекать только две крайние ветви W-графика (2 корня), пока при $a=-3$ не станет параллельной одной из них (1 корень). Если $a$ находится между $0$ и $-1/2$, прямая пересекает график в четырех точках.

Ответ: Уравнение имеет три корня при $a = -1/2$.