Номер 9, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9
Степенная функция с натуральным показателем

1. Функция задана формулой $g(x) = x^{12}$. Сравните:

1) $g(5,8)$ и $g(4,9)$;

2) $g(-12,3)$ и $g(-15,1)$;

3) $g(-0,3)$ и $g(0,3)$;

4) $g(1,4)$ и $g(-2,1)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

1) $x^4 = x + 5$;

2) $-x^5 = 5 - x$.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени $n$ функции $y = x^n$, если:

1) $f(-7) > f(-1)$;

2) $f(-7) > f(1)$;

3) $f(-7) < f(-1)$;

4) $f(-7) < f(1)$?

4. Решите уравнение $4x^{18} + 7x^2 = 11$.

1. Функция задана формулой $g(x) = x^{12}$. Сравните:

Функция $g(x) = x^{12}$ является степенной функцией с чётным натуральным показателем степени (12). Основные свойства такой функции:

• Она является чётной, то есть $g(-x) = g(x)$ для любого $x$.
• Она убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Она возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

1) g(5,8) и g(4,9)

Аргументы 5,8 и 4,9 принадлежат промежутку возрастания функции $[0, \infty)$. Так как $5,8 > 4,9$, то и значение функции в этой точке будет больше: $g(5,8) > g(4,9)$.

Ответ: $g(5,8) > g(4,9)$.

2) g(–12,3) и g(–15,1)

Аргументы –12,3 и –15,1 принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty, 0]$. Так как $-15,1 < -12,3$, то для убывающей функции выполняется обратное неравенство для значений функции: $g(-15,1) > g(-12,3)$.

Ответ: $g(-12,3) < g(-15,1)$.

3) g(–0,3) и g(0,3)

Так как функция $g(x) = x^{12}$ является чётной, то по определению чётной функции $g(-x) = g(x)$. Следовательно, $g(-0,3) = g(0,3)$.

Ответ: $g(-0,3) = g(0,3)$.

4) g(1,4) и g(–2,1)

Используем свойство чётности функции: $g(-2,1) = g(2,1)$. Теперь сравним $g(1,4)$ и $g(2,1)$. Оба аргумента 1,4 и 2,1 принадлежат промежутку возрастания функции $[0, \infty)$. Так как $1,4 < 2,1$, то $g(1,4) < g(2,1)$. Следовательно, $g(1,4) < g(-2,1)$.

Ответ: $g(1,4) < g(-2,1)$.

2. Определите графически количество корней уравнения:

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

1) $x^4 = x + 5$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^4$ и $y = x + 5$.
$y = x^4$ — это степенная функция, её график похож на параболу, симметричен относительно оси OY, проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1).
$y = x + 5$ — это прямая, проходящая через точки (0; 5) и (-5; 0).
Эскиз графиков показывает, что прямая пересекает график функции $y = x^4$ в двух точках: одна при $x < 0$ и одна при $x > 0$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

2) $-x^5 = 5 - x$

Преобразуем уравнение к виду $x^5 = x - 5$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^5$ и $y = x - 5$.
$y = x^5$ — это степенная функция, её график проходит через начало координат и расположен в I и III координатных четвертях. Функция возрастает на всей числовой оси.
$y = x - 5$ — это прямая, параллельная прямой $y = x$ и смещённая на 5 единиц вниз. Она проходит через точки (0; -5) и (5; 0).
Эскиз графиков показывает, что прямая пересекает график функции $y = x^5$ в одной точке. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

3. Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени n функции $y = x^n$, если:

1) $f(-7) > f(-1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n > (-1)^n$.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x) = x^n$ возрастает. Из $-7 < -1$ следовало бы, что $f(-7) < f(-1)$, что противоречит условию.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x) = x^n$ убывает на $(-\infty, 0]$. Из $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$, что соответствует условию.
Следовательно, $n$ — чётное число.

Ответ: чётным.

2) $f(-7) > f(1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n > 1^n$, то есть $(-7)^n > 1$.
Если $n$ — нечётное, то $(-7)^n$ будет отрицательным числом, и неравенство не может выполняться.
Если $n$ — чётное, то $(-7)^n = 7^n$. Так как $n$ — натуральное чётное число ($n \ge 2$), то $7^n > 1$ выполняется.
Следовательно, $n$ — чётное число.

Ответ: чётным.

3) $f(-7) < f(-1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n < (-1)^n$.
Если $n$ — чётное, то функция $f(x) = x^n$ убывает на $(-\infty, 0]$. Из $-7 < -1$ следует, что $f(-7) > f(-1)$, что противоречит условию.
Если $n$ — нечётное, то функция $f(x) = x^n$ возрастает. Из $-7 < -1$ следует, что $f(-7) < f(-1)$, что соответствует условию.
Следовательно, $n$ — нечётное число.

Ответ: нечётным.

4) $f(-7) < f(1)$

Подставим значения в неравенство: $(-7)^n < 1^n$, то есть $(-7)^n < 1$.
Если $n$ — чётное, то $(-7)^n = 7^n \ge 7^2 = 49$. Неравенство $49 < 1$ не выполняется.
Если $n$ — нечётное, то $(-7)^n$ будет отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше 1, поэтому неравенство выполняется.
Следовательно, $n$ — нечётное число.

Ответ: нечётным.

4. Решите уравнение $4x^{18} + 7x^2 = 11$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x^{18} + 7x^2$. Так как показатели степеней 18 и 2 являются чётными числами, функция $f(x)$ является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем.

Подберём один из корней. Попробуем $x = 1$:
$f(1) = 4(1)^{18} + 7(1)^2 = 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 4 + 7 = 11$.
Так как $f(1) = 11$, то $x=1$ является корнем уравнения. В силу чётности функции, $x = -1$ также является корнем.

Докажем, что других корней нет. На промежутке $[0, \infty)$ функция $f(x) = 4x^{18} + 7x^2$ является суммой двух возрастающих функций, а значит, сама строго возрастает. Следовательно, каждое своё значение на этом промежутке она принимает только один раз. Поскольку $f(1) = 11$, других положительных корней у уравнения нет.

Аналогично, на промежутке $(-\infty, 0]$ функция $f(x)$ является строго убывающей. Значит, и на этом промежутке каждое своё значение она принимает только один раз. Поскольку $f(-1) = 11$, других отрицательных корней у уравнения нет.

Таким образом, уравнение имеет ровно два корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.