Номер 2, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Конечные и бесконечные множества

1. Докажите, что множество точек сторон треугольника и множество точек вписанной в этот треугольник окружности равномощны.

2. Каких натуральных чисел больше: пятизначных чисел или нечётных шестизначных чисел, кратных числу 5?

3. В школе технического творчества 47 учащихся посещают авиамодельный кружок или кружок робототехники. Известно, что 20 учащихся посещают оба кружка. Докажите, что в работе хотя бы одного из кружков принимают участие не менее 34 учащихся.

4. Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 3, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 5.

1.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, необходимо установить между их элементами взаимно-однозначное соответствие (биекцию).

Пусть $T$ — множество точек на сторонах треугольника, а $C$ — множество точек на вписанной в него окружности.

1. Обозначим центр вписанной окружности как точку $O$. Эта точка находится внутри треугольника.

2. Построим отображение $f$ из множества $T$ в множество $C$. Для любой точки $P$, принадлежащей сторонам треугольника (то есть $P \in T$), проведём луч, начинающийся в точке $O$ и проходящий через точку $P$.

3. Поскольку точка $O$ находится внутри треугольника, а точка $P$ — на его границе, этот луч пересечёт вписанную окружность $C$ в единственной точке $Q$. Поставим в соответствие каждой точке $P$ на треугольнике эту точку $Q$ на окружности. Таким образом, мы определили функцию $f(P) = Q$.

Докажем, что это отображение является биекцией.

• Инъективность (взаимная однозначность): Разным точкам на сторонах треугольника $P_1$ и $P_2$ будут соответствовать разные лучи $OP_1$ и $OP_2$. Эти разные лучи пересекут окружность в разных точках $Q_1$ и $Q_2$. Следовательно, разным точкам из множества $T$ соответствуют разные точки из множества $C$.
• Сюръективность (отображение "на"): Для любой точки $Q$ на вписанной окружности мы можем провести луч $OQ$. Так как окружность полностью лежит внутри треугольника, этот луч обязательно пересечёт одну из сторон треугольника в некоторой точке $P$. Этой точке $P$ наше отображение как раз и сопоставит точку $Q$. Следовательно, для любой точки из множества $C$ найдётся соответствующая точка из множества $T$.

Поскольку мы построили биективное отображение между множеством точек сторон треугольника и множеством точек вписанной окружности, эти два множества равномощны.

Ответ: Множества равномощны, так как между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие с помощью проекции из центра вписанной окружности.

2.

Чтобы определить, каких чисел больше, нужно подсчитать количество чисел в каждой из двух групп.

1. Пятизначные числа.

Пятизначные числа — это целые числа от 10 000 до 99 999. Их количество можно найти как разность:

$N_1 = 99999 - 10000 + 1 = 90000$.

Либо с помощью комбинаторики:

• На первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов).
• На каждом из следующих четырех мест — любая цифра от 0 до 9 (по 10 вариантов).

Итого: $N_1 = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

2. Нечётные шестизначные числа, кратные числу 5.

Рассмотрим свойства таких чисел:

• Число кратно 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
• Число нечётное, если его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, последняя цифра числа должна быть 5.

Теперь подсчитаем количество шестизначных чисел, оканчивающихся на 5:

• На первом месте может стоять любая цифра от 1 до 9 (9 вариантов, так как число не может начинаться с 0).
• На втором, третьем, четвертом и пятом местах — любая цифра от 0 до 9 (по 10 вариантов).
• На последнем, шестом месте, должна стоять цифра 5 (1 вариант).

Итого: $N_2 = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 9 \times 10^4 = 90000$.

Сравнивая количество чисел в обеих группах, получаем: $N_1 = 90000$ и $N_2 = 90000$.

Ответ: Количество пятизначных чисел равно количеству нечётных шестизначных чисел, кратных 5.

3.

Пусть $A$ — множество учащихся, посещающих авиамодельный кружок, а $R$ — множество учащихся, посещающих кружок робототехники.

По условию:

• Количество учащихся, посещающих хотя бы один из кружков: $|A \cup R| = 47$.
• Количество учащихся, посещающих оба кружка: $|A \cap R| = 20$.

Используем формулу включений-исключений для двух множеств:

$|A \cup R| = |A| + |R| - |A \cap R|$

Подставим известные значения:

$47 = |A| + |R| - 20$

Отсюда найдем суммарное количество участников в двух кружках:

$|A| + |R| = 47 + 20 = 67$

Нам нужно доказать, что в работе хотя бы одного из кружков принимает участие не менее 34 учащихся, то есть $|A| \ge 34$ или $|R| \ge 34$.

Докажем это методом от противного. Предположим, что в каждом кружке занимается менее 34 учащихся:

$|A| < 34$ (то есть $|A| \le 33$)

и

$|R| < 34$ (то есть $|R| \le 33$)

Тогда их максимальная возможная сумма будет:

$|A| + |R| \le 33 + 33 = 66$

Однако мы ранее получили, что $|A| + |R| = 67$. Возникает противоречие: $67 \le 66$, что неверно.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и хотя бы в одном из кружков количество учащихся не может быть меньше 34. Это означает, что хотя бы в одном кружке занимается не менее 34 учащихся.

Ответ: Утверждение доказано.

4.

Чтобы доказать, что два множества равномощны, нужно установить между ними биекцию (взаимно-однозначное соответствие).

Пусть $A$ — множество натуральных чисел, кратных 3, и $B$ — множество натуральных чисел, кратных 5.

$A = \{3, 6, 9, 12, \dots, 3n, \dots\}$, где $n \in \mathbb{N}$

$B = \{5, 10, 15, 20, \dots, 5n, \dots\}$, где $n \in \mathbb{N}$

Определим функцию $f: A \to B$, которая каждому элементу из $A$ ставит в соответствие элемент из $B$.

Каждый элемент $a \in A$ имеет вид $a = 3n$ для некоторого натурального $n$. Зададим функцию следующим образом:

$f(a) = f(3n) = 5n$

Например, $f(3) = 5$, $f(6) = 10$, $f(9) = 15$ и так далее.

Докажем, что эта функция является биекцией.

• Инъективность: Пусть $a_1, a_2 \in A$ и $f(a_1) = f(a_2)$. Пусть $a_1 = 3n_1$ и $a_2 = 3n_2$. Тогда по определению функции $f(3n_1) = 5n_1$ и $f(3n_2) = 5n_2$. Из равенства $5n_1 = 5n_2$ следует, что $n_1 = n_2$, а значит и $3n_1 = 3n_2$, то есть $a_1 = a_2$. Функция инъективна.
• Сюръективность: Возьмем произвольный элемент $b \in B$. Он имеет вид $b=5m$ для некоторого натурального $m$. Нам нужно найти такой элемент $a \in A$, что $f(a) = b$. Искомый элемент $a$ должен иметь вид $a=3n$. Тогда $f(a) = f(3n) = 5n$. Мы хотим, чтобы $5n = 5m$, откуда $n=m$. Таким образом, для элемента $b=5m \in B$ существует элемент $a=3m \in A$, для которого $f(3m) = 5m = b$. Функция сюръективна.

Поскольку функция $f$ является и инъективной, и сюръективной, она является биекцией. Это доказывает, что между множествами $A$ и $B$ можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Ответ: Множество натуральных чисел, кратных 3, равномощно множеству натуральных чисел, кратных 5, так как между ними существует биекция $f(3n) = 5n$.