Номер 28, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $\cos \frac{7\pi}{9} + \cos \frac{5\pi}{9};$

2) $\cos \left( \beta + \frac{\pi}{10} \right) + \cos \left( \beta - \frac{\pi}{10} \right);$

3) $\sin 3\beta - \cos \beta;$

4) $\sqrt{3} - 2\sin\alpha.$

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin 15^\circ \cos 40^\circ;$

2) $\cos \alpha \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right).$

3. Докажите тождество:

1) $\sin 4\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \cos 5\alpha = \sin 6\alpha \cos \alpha;$

2) $\cos^2 (\alpha - \beta) - \cos^2 (\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta.$

1. Преобразуйте в произведение:

1) $\cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9}$

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{7\pi}{9}$ и $y = \frac{5\pi}{9}$.

Находим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{7\pi}{9} + \frac{5\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{12\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{\frac{7\pi}{9} - \frac{5\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{9}}{2} = \frac{\pi}{9}$

Подставляем найденные значения в формулу:

$\cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9} = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$.

Так как значение косинуса $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)$.

Ответ: $-\cos\frac{\pi}{9}$.

2) $\cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + \cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right)$

Используем ту же формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = \beta + \frac{\pi}{10}$ и $y = \beta - \frac{\pi}{10}$.

Находим полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{x+y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) + (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) - (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{\frac{2\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{10}$

Подставляем значения в формулу:

$\cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + \cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right) = 2 \cos\beta \cos\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $2 \cos\beta \cos\frac{\pi}{10}$.

3) $\sin 3\beta - \cos\beta$

Для использования формулы разности синусов, приведем $\cos\beta$ к синусу, используя формулу приведения: $\cos\beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$.

Выражение принимает вид: $\sin 3\beta - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$.

Используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = 3\beta$ и $y = \frac{\pi}{2} - \beta$.

$\frac{x+y}{2} = \frac{3\beta + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{2\beta + \frac{\pi}{2}}{2} = \beta + \frac{\pi}{4}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{3\beta - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{4\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = 2\beta - \frac{\pi}{4}$

Подставляем в формулу:

$\sin 3\beta - \cos\beta = 2 \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(2\beta - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $2 \cos\left(\beta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(2\beta - \frac{\pi}{4}\right)$.

4) $\sqrt{3} - 2\sin\alpha$

Вынесем множитель 2 за скобки: $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\alpha\right)$.

Представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как синус угла: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$.

Получаем выражение: $2\left(\sin\frac{\pi}{3} - \sin\alpha\right)$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$2\left[2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right)\right] = 4 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $4 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin 15^\circ \cos 40^\circ$

Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$.

Здесь $x = 15^\circ$ и $y = 40^\circ$.

$\sin 15^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ+40^\circ) + \sin(15^\circ-40^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 55^\circ + \sin(-25^\circ))$.

Так как $\sin(-25^\circ) = -\sin 25^\circ$, получаем:

$\frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ)$.

2) $\cos\alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} + \alpha$.

$\cos\alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.

Так как $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{4}$.

3. Докажите тождество:

1) $\sin 4\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha \cos 5\alpha = \sin 6\alpha \cos\alpha$

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ). Применим к каждому слагаемому формулу $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$.

Первое слагаемое: $\sin 4\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha+\alpha) + \sin(4\alpha-\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)$.

Второе слагаемое: $\sin 2\alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2}(\sin(2\alpha+5\alpha) + \sin(2\alpha-5\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin(-3\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha)$.

Сложим полученные выражения:

ЛЧ = $\frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha) + \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin 3\alpha + \sin 7\alpha - \sin 3\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin 5\alpha)$.

Теперь преобразуем полученную сумму синусов в произведение по формуле $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

ЛЧ = $\frac{1}{2}\left(2 \sin\frac{7\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-5\alpha}{2}\right) = \sin\frac{12\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = \sin 6\alpha \cos\alpha$.

Левая часть равна правой части ($\sin 6\alpha \cos\alpha$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $\cos^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ), используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

ЛЧ = $(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Теперь применим формулы преобразования разности и суммы косинусов в произведение:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Для первого множителя ($x = \alpha - \beta, y = \alpha + \beta$):

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2 \sin\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}\sin\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = -2 \sin\alpha \sin(-\beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta$.

Для второго множителя:

$\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2 \cos\frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2}\cos\frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = 2 \cos\alpha \cos(-\beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta$.

Перемножим результаты:

ЛЧ = $(2 \sin\alpha \sin\beta)(2 \cos\alpha \cos\beta) = 4 \sin\alpha \cos\alpha \sin\beta \cos\beta = (2 \sin\alpha \cos\alpha)(2 \sin\beta \cos\beta)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получаем:

ЛЧ = $\sin 2\alpha \sin 2\beta$.

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.