Номер 30, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $\sin x = b$

1. Решите уравнение:

1) $2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{3} = 0;$

2) $1 + 2\sin(3 - 2x) = 0;$

3) $\sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6};$

4) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = -1.$

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$7\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0.$

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$?

1. Решите уравнение:

1) $2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \sqrt{3} = 0$

Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть и разделим на 2:
$2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$
$\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Аргумент синуса равен:
$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$
Выразим $x$:
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + 2\sin(3 - 2x) = 0$

Выразим синус:
$2\sin(3 - 2x) = -1$
$\sin(3 - 2x) = -\frac{1}{2}$
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получим:
$-\sin(2x - 3) = -\frac{1}{2}$
$\sin(2x - 3) = \frac{1}{2}$
Аргумент синуса равен:
$2x - 3 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$2x - 3 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
Выразим $x$:
$2x = 3 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin(4x + 3) = -\frac{\pi}{6}$

Значение $-\frac{\pi}{6} \approx -\frac{3.14}{6} \approx -0.52$ находится в области значений функции синус $[-1, 1]$, следовательно, уравнение имеет решение.
$4x + 3 = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-\alpha) = -\arcsin\alpha$ :
$4x + 3 = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$
$4x + 3 = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{\pi}{6} + \pi n$
$4x = -3 + (-1)^{n+1} \arcsin\frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{3}{4} + \frac{(-1)^{n+1}}{4} \arcsin\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = -1$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Применим метод введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$
Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, уравнение можно переписать в виде:
$\cos\frac{\pi}{6}\sin x - \sin\frac{\pi}{6}\cos x = -\frac{1}{2}$
Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$, получаем:
$\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$
$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Разобьем решение на две серии:
1. Если $n$ - четное, $n = 2k, k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = 2\pi k$.
2. Если $n$ - нечетное, $n = 2k + 1, k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.
Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2.

Решим уравнение $7\sin(3x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$:
$\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{7}$
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{(-1)^n}{3} \arcsin\left(\frac{1}{7}\right) + \frac{\pi n}{3}$
Для нахождения наименьшего положительного корня, рассмотрим значения $x$ при различных целых $n$. Обозначим $\alpha = \arcsin(\frac{1}{7})$. Так как $\frac{1}{7} > 0$, то $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
При $n = 0: x_0 = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{3}$. Корень положительный.
При $n = 1: x_1 = \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{12} - \frac{\alpha}{3}$. Корень положительный.
При $n = -1: x_{-1} = \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{3} - \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{\alpha}{3} < 0$. Корень отрицательный.
При $n < -1$ корни также будут отрицательными. При $n > 1$ корни будут больше, чем $x_0$ и $x_1$.
Сравним $x_0$ и $x_1$. Найдем их разность:
$x_1 - x_0 = \left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\alpha}{3}\right) - \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4\pi}{12} - \frac{2\alpha}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{2\alpha}{3} = \frac{\pi - 2\alpha}{3}$.
Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $0 < 2\alpha < \pi$, значит $\pi - 2\alpha > 0$. Следовательно, $x_1 - x_0 > 0$, то есть $x_1 > x_0$.
Наименьший положительный корень получается при $n=0$.
Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{1}{3}\arcsin\frac{1}{7}$.

3.

Уравнение $\cos x(\sin x - a) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos x = 0$
2) $\sin x = a$
Корни необходимо найти на промежутке $[0; 2\pi]$.
1) Уравнение $\cos x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$ имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Эти корни существуют при любом значении $a$.
2) Количество корней уравнения $\sin x = a$ зависит от значения $a$.
Рассмотрим все случаи:
- Если $|a| > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней. Общее число корней равно 2 (от $\cos x = 0$).
- Если $a = 1$, уравнение $\sin x = 1$ имеет один корень $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень совпадает с одним из корней первого уравнения. Таким образом, общее число различных корней равно 2: $\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$.
- Если $a = -1$, уравнение $\sin x = -1$ имеет один корень $x = \frac{3\pi}{2}$. Этот корень также совпадает с одним из корней первого уравнения. Общее число различных корней равно 2: $\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$.
- Если $a = 0$, уравнение $\sin x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$ имеет три корня: $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$. Ни один из них не совпадает с корнями первого уравнения. Общее число корней $2+3=5$.
- Если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, уравнение $\sin x = a$ имеет два различных корня на промежутке $[0; 2\pi]$. Эти корни не могут быть равны $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, так как для этих значений $x$ синус равен $1$ или $-1$. Следовательно, совпадений нет. Общее число корней $2+2=4$.
Ответ: если $|a| \ge 1$, то 2 корня; если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, то 4 корня; если $a = 0$, то 5 корней.