Номер 23, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{tg} x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{tg} x$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{tg} 43^\circ$ и $\operatorname{ctg} 43^\circ$;

2) $\operatorname{ctg} 28^\circ$ и $\operatorname{tg} 59^\circ$;

3) $\operatorname{tg} 46^\circ$ и $\sin 91^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -4\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

2) $y = \operatorname{ctg} 3|x|$;

3) $y = \operatorname{tg} x - |\operatorname{tg} x|$.

1. На промежутке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ укажите:

1) нули функции $y = \tg x$;

Решение: Нули функции $y = \tg x$ – это значения $x$, при которых $\tg x = 0$. Уравнение $\tg x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$ (при условии, что $\cos x \neq 0$). Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь найдем, какие из этих значений принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$. Для этого решим неравенство: $-\frac{\pi}{4} \le \pi n \le \frac{3\pi}{4}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-\frac{1}{4} \le n \le \frac{3}{4}$ Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=0$. При $n=0$ получаем $x = \pi \cdot 0 = 0$.
Ответ: $x=0$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \tg x$.

Решение: Область определения функции $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ – это все действительные числа $x$, для которых $\cos x \neq 0$. Функция не определена в точках, где $\cos x = 0$. Решениями уравнения $\cos x = 0$ являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь найдем, какие из этих значений принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$. Решим неравенство: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{3\pi}{4}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-\frac{1}{4} \le \frac{1}{2} + n \le \frac{3}{4}$ Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей: $-\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \le n \le \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ $-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{4}$ Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n=0$. При $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$.

2. Сравните:

1) $\tg 43^\circ$ и $\ctg 43^\circ$;

Решение: Угол $43^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 43^\circ < 90^\circ$). В первой четверти значения тангенса и котангенса положительны. Известно, что $\tg 45^\circ = 1$. Функция $y=\tg x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Поскольку $43^\circ < 45^\circ$, то $\tg 43^\circ < \tg 45^\circ = 1$. Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, то $\ctg 43^\circ = \frac{1}{\tg 43^\circ}$. Поскольку $0 < \tg 43^\circ < 1$, то $\frac{1}{\tg 43^\circ} > 1$. Таким образом, $\tg 43^\circ < 1$ и $\ctg 43^\circ > 1$, следовательно $\tg 43^\circ < \ctg 43^\circ$.
Ответ: $\tg 43^\circ < \ctg 43^\circ$.

2) $\ctg 28^\circ$ и $\tg 59^\circ$;

Решение: Используем формулу приведения: $\ctg \alpha = \tg(90^\circ - \alpha)$. Применим ее для $\ctg 28^\circ$: $\ctg 28^\circ = \tg(90^\circ - 28^\circ) = \tg 62^\circ$. Теперь нужно сравнить $\tg 62^\circ$ и $\tg 59^\circ$. Функция $y = \tg x$ является возрастающей на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Поскольку $62^\circ > 59^\circ$, то $\tg 62^\circ > \tg 59^\circ$. Следовательно, $\ctg 28^\circ > \tg 59^\circ$.
Ответ: $\ctg 28^\circ > \tg 59^\circ$.

3) $\tg 46^\circ$ и $\sin 91^\circ$.

Решение: Рассмотрим значение $\tg 46^\circ$. Так как $46^\circ > 45^\circ$ и функция $y=\tg x$ возрастает в первой четверти, то $\tg 46^\circ > \tg 45^\circ = 1$. Рассмотрим значение $\sin 91^\circ$. Угол $91^\circ$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения: $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$. $\sin 91^\circ = \sin(90^\circ + 1^\circ) = \cos 1^\circ$. Значение косинуса любого угла, не равного $2\pi n$, строго меньше 1. В частности, $\cos 1^\circ < \cos 0^\circ = 1$. Таким образом, мы получили, что $\tg 46^\circ > 1$ и $\sin 91^\circ < 1$. Следовательно, $\tg 46^\circ > \sin 91^\circ$.
Ответ: $\tg 46^\circ > \sin 91^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$;

Решение: График функции $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$ можно построить с помощью последовательных преобразований графика функции $y = \ctg x$.

1. Строим график основной функции $y_1 = \ctg x$. Период $T=\pi$, вертикальные асимптоты $x=\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. Сдвигаем график $y_1$ вправо на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_2 = \ctg(x - \frac{\pi}{6})$. Асимптоты смещаются в $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. Растягиваем график $y_2$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 4 раза. Получаем график функции $y_3 = 4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$.
4. Отражаем график $y_3$ симметрично относительно оси Ox. Получаем искомый график $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$.

• Период: $T = \pi$.
• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y=0$ при $\ctg(x - \frac{\pi}{6})=0$, то есть $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Функция является возрастающей на каждом интервале области определения (так как $y=\ctg x$ убывает, а знак «минус» меняет монотонность на противоположную).

Ответ: График функции $y = -4\ctg(x - \frac{\pi}{6})$ получается из графика $y = \ctg x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{6}$, растяжением по вертикали в 4 раза и отражением относительно оси Ox.

2) $y = \ctg 3|x|$;

Решение: Данная функция является четной, так как $y(-x) = \ctg(3|-x|) = \ctg(3|x|) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому для построения графика достаточно выполнить следующие шаги:

1. Построить график функции $y = \ctg(3x)$ для $x > 0$. Этот график получается из графика $y = \ctg x$ путем сжатия к оси Oy в 3 раза. Период этой функции $T = \frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты для $x>0$ находятся в точках $x = \frac{\pi n}{3}$ для $n \in \mathbb{N}$ (например, $x=\frac{\pi}{3}, x=\frac{2\pi}{3}, ...$). Ось Oy ($x=0$) также является вертикальной асимптотой.
2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Это даст нам вторую половину графика для $x < 0$.

Свойства итогового графика:

• Область определения: $3|x| \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
• График симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $3|x| = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $|x| = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, откуда $x = \pm(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \ctg 3|x|$ строится путем построения графика $y = \ctg(3x)$ для $x>0$ (который является сжатым в 3 раза к оси Oy графиком котангенса) и его симметричного отражения относительно оси Oy.

3) $y = \tg x - |\tg x|$.

Решение: Раскроем модуль в определении функции, рассмотрев два случая.

1. Если $\tg x \ge 0$, то $|\tg x| = \tg x$. В этом случае $y = \tg x - \tg x = 0$. Неравенство $\tg x \ge 0$ выполняется для $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках (например, $[0, \frac{\pi}{2})$, $[\pi, \frac{3\pi}{2})$ и т.д.) график функции совпадает с осью абсцисс.
2. Если $\tg x < 0$, то $|\tg x| = -\tg x$. В этом случае $y = \tg x - (-\tg x) = 2\tg x$. Неравенство $\tg x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках (например, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и т.д.) график функции совпадает с графиком $y = 2\tg x$, который является графиком тангенса, растянутым в 2 раза вдоль оси Oy.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} 0, & \text{ если } x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n) \\ 2\tg x, & \text{ если } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n) \end{cases}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: График функции $y = \tg x - |\tg x|$ состоит из отрезков оси Ox на промежутках, где тангенс неотрицателен, и из ветвей графика $y=2\tg x$ (растянутого вдвое тангенса) на промежутках, где тангенс отрицателен.