Номер 20, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Знаки значений тригонометрических функций.

Чётность и нечётность тригонометрических функций

1. Найдите значение выражения

$2\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 3\text{sin}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 10\text{cos}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right).$

2. Сравните:

1) $\text{cos } 40^\circ \text{ и sin } 240^\circ$;

2) $\text{tg } 160^\circ \text{ и ctg } (-160^\circ)$;

3) $\text{sin } \frac{17\pi}{10} \text{ и cos } \frac{3\pi}{10}$;

4) $\text{tg } 5 \text{ и sin } 2,5$.

3. Углом какой координатной четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\text{sin } \alpha > 0 \text{ и sin } \alpha \text{cos } \alpha < 0$;

2) $|\text{sin } \alpha| = \text{sin } \alpha \text{ и sin } \alpha \text{cos } \alpha > 0$?

4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x\text{tg}x}{2 - \text{cos}x}$;

2) $f(x) = \frac{\text{sin}x}{|x| - 3}$;

3) $f(x) = \frac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\text{tg}x}{x - \frac{\pi}{4}}$.

1.

Для нахождения значения выражения используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, а также табличные значения.

Исходное выражение: $2\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) \operatorname{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 10\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Применяем свойства чётности/нечётности:
$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ (нечётная функция)
$\sin(-x) = -\sin(x)$ (нечётная функция)
$\cos(-x) = \cos(x)$ (чётная функция)

Выражение преобразуется к виду:
$2\left(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) \left(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\right)^2 + 3\left(-\sin\frac{\pi}{2}\right) + 10\left(\cos\frac{\pi}{6}\right)^2$

Подставляем известные значения тригонометрических функций:
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
$\sin\frac{\pi}{2} = 1$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:
$2(-1) (\sqrt{3})^2 + 3(-1) + 10\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2(-1)(3) - 3 + 10\left(\frac{3}{4}\right) = -6 - 3 + \frac{30}{4} = -9 + 7,5 = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

2.

1) $\cos 40^\circ$ и $\sin 240^\circ$

Угол $40^\circ$ находится в первой координатной четверти, где косинус положителен, следовательно $\cos 40^\circ > 0$.

Угол $240^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен, следовательно $\sin 240^\circ < 0$.

Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\cos 40^\circ > \sin 240^\circ$.

Ответ: $\cos 40^\circ > \sin 240^\circ$.

2) $\operatorname{tg} 160^\circ$ и $\operatorname{ctg}(-160^\circ)$

Угол $160^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 160^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен, следовательно $\operatorname{tg} 160^\circ < 0$.

Котангенс - нечётная функция, поэтому $\operatorname{ctg}(-160^\circ) = -\operatorname{ctg}(160^\circ)$.

Во второй четверти котангенс также отрицателен, то есть $\operatorname{ctg}(160^\circ) < 0$.

Следовательно, $-\operatorname{ctg}(160^\circ)$ будет положительным числом.
Поскольку $\operatorname{tg} 160^\circ$ - отрицательное число, а $\operatorname{ctg}(-160^\circ)$ - положительное, то $\operatorname{tg} 160^\circ < \operatorname{ctg}(-160^\circ)$.

Ответ: $\operatorname{tg} 160^\circ < \operatorname{ctg}(-160^\circ)$.

3) $\sin \frac{17\pi}{10}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$

Определим, в каких четвертях находятся углы.
Для угла $\frac{17\pi}{10}$: $\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10} < \frac{17\pi}{10} < 2\pi = \frac{20\pi}{10}$. Угол находится в четвёртой координатной четверти, где синус отрицателен, то есть $\sin \frac{17\pi}{10} < 0$.

Для угла $\frac{3\pi}{10}$: $0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$. Угол находится в первой координатной четверти, где косинус положителен, то есть $\cos \frac{3\pi}{10} > 0$.

Следовательно, $\sin \frac{17\pi}{10} < \cos \frac{3\pi}{10}$.

Ответ: $\sin \frac{17\pi}{10} < \cos \frac{3\pi}{10}$.

4) $\operatorname{tg} 5$ и $\sin 2,5$

Определим, в каких четвертях находятся углы, заданные в радианах (используем $\pi \approx 3,14$).
$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$. Так как $4,71 < 5 < 6,28$, угол 5 радиан находится в четвёртой координатной четверти. Тангенс в этой четверти отрицателен: $\operatorname{tg} 5 < 0$.

$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $1,57 < 2,5 < 3,14$, угол 2,5 радиана находится во второй координатной четверти. Синус в этой четверти положителен: $\sin 2,5 > 0$.

Следовательно, $\operatorname{tg} 5 < \sin 2,5$.

Ответ: $\operatorname{tg} 5 < \sin 2,5$.

3.

1) $\sin \alpha > 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$

Из первого условия $\sin \alpha > 0$ следует, что угол $\alpha$ находится в I или II координатной четверти.

Так как $\sin \alpha$ - положительное число, из второго условия $\sin \alpha \cos \alpha < 0$ следует, что $\cos \alpha$ должен быть отрицательным числом, то есть $\cos \alpha < 0$. Это возможно в II и III координатных четвертях.

Пересечением этих условий (I, II четверти и II, III четверти) является II четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй координатной четверти.

2) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$

Условие $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ выполняется, когда $\sin \alpha \ge 0$. Это соответствует I и II координатным четвертям.

Из второго условия $\sin \alpha \cos \alpha > 0$ и того, что $\sin \alpha > 0$ (равенство нулю исключается, так как произведение строго больше нуля), следует, что $\cos \alpha$ также должен быть положительным, то есть $\cos \alpha > 0$. Это возможно в I и IV координатных четвертях.

Пересечением этих условий (I, II четверти и I, IV четверти) является I четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом первой координатной четверти.

4.

Функция $f(x)$ является чётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ является нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) $f(x) = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x}$

Область определения функции $D(f)$: $\cos x \ne 0$ и $2 - \cos x \ne 0$. Второе условие выполняется всегда. Первое условие: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x) \operatorname{tg}(-x)}{2 - \cos(-x)} = \frac{(-x) (-\operatorname{tg} x)}{2 - \cos x} = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{\sin x}{|x| - 3}$

Область определения функции $D(f)$: $|x| - 3 \ne 0 \implies |x| \ne 3 \implies x \ne \pm 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{|-x| - 3} = \frac{-\sin x}{|x| - 3} = - \frac{\sin x}{|x| - 3} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\operatorname{tg} x}{x - \frac{\pi}{4}}$

Область определения функции $D(f)$: $x - \frac{\pi}{4} \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{4}$. Также для тангенса $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения содержит точку $x = -\frac{\pi}{4}$, но не содержит точку $x = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, область определения не является симметричной относительно нуля.

Поскольку область определения несимметрична, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.