Номер 19, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Тригонометрические функции

числового аргумента

1. Найдите значение выражения:

1) $2\cos 0^\circ + 5\sin 90^\circ - 4\operatorname{tg} 180^\circ;$

2) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} + 3\cos \frac{\pi}{2} - 4\sin \frac{3\pi}{2};$

3) $\frac{\left(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2}\right)\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} 2\pi}.$

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin\alpha;$

2) $\cos^2\alpha - 5;$

3) $\frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\cos\alpha}.$

3. Найдите область значений выражения:

1) $\operatorname{tg}^6x - 4;$

2) $\frac{1}{4 + \cos 5x};$

3) $\frac{1}{\sin 4x - 1}.$

1. Найдите значение выражения:

1) $2\cos 0^{\circ} + 5\sin 90^{\circ} - 4\text{tg } 180^{\circ}$. Зная значения тригонометрических функций для данных углов: $\cos 0^{\circ} = 1$, $\sin 90^{\circ} = 1$ и $\text{tg } 180^{\circ} = 0$. Подставляем эти значения в выражение: $2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 2 + 5 - 0 = 7$. Ответ: 7.

2) $\text{ctg}\frac{\pi}{2} + 3\cos\frac{\pi}{2} - 4\sin\frac{3\pi}{2}$. Зная значения тригонометрических функций для данных углов: $\text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$. Подставляем эти значения в выражение: $0 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-1) = 0 + 0 + 4 = 4$. Ответ: 4.

3) $\frac{(\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{2})\text{ctg}\frac{\pi}{6}}{\text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg }2\pi}$. Найдем значения тригонометрических функций: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$, $\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\text{tg }2\pi = 0$. Подставляем значения в числитель и знаменатель. Числитель: $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 0) \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Знаменатель: $\sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin\alpha$. Область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$. Умножим все части неравенства на 3: $-3 \le 3\sin\alpha \le 3$. Прибавим ко всем частям неравенства 1: $1 - 3 \le 1 + 3\sin\alpha \le 1 + 3$, что дает $-2 \le 1 + 3\sin\alpha \le 4$. Наименьшее значение выражения равно -2, наибольшее равно 4. Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 4.

2) $\cos^2\alpha - 5$. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos\alpha \le 1$. При возведении в квадрат, область значений для $\cos^2\alpha$ будет $0 \le \cos^2\alpha \le 1$. Вычтем 5 из всех частей неравенства: $0 - 5 \le \cos^2\alpha - 5 \le 1 - 5$, что дает $-5 \le \cos^2\alpha - 5 \le -4$. Наименьшее значение выражения равно -5, наибольшее равно -4. Ответ: наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -4.

3) $\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}$. При условии, что $\cos\alpha \neq 0$, выражение можно упростить до $1-\sin\alpha$. Область значений функции $\sin\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наименьшее значение выражения $1-\sin\alpha$ достигается, когда $\sin\alpha$ принимает наибольшее значение, то есть $\sin\alpha = 1$. Наименьшее значение: $1 - 1 = 0$. Наибольшее значение достигается, когда $\sin\alpha$ принимает наименьшее значение, то есть $\sin\alpha = -1$. Наибольшее значение: $1 - (-1) = 2$. Ответ: наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 2.

3. Найдите область значений выражения:

1) $\text{tg}^6x - 4$. Область значений функции $\text{tg } x$ — это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$. Так как показатель степени 6 — четное число, то $\text{tg}^6x$ принимает только неотрицательные значения. Область его значений — $[0, +\infty)$. Вычитая 4, получаем область значений для всего выражения: $[0-4, +\infty)$, то есть $[-4, +\infty)$. Ответ: $[-4, +\infty)$.

2) $\frac{1}{4 + \cos 5x}$. Область значений функции $\cos 5x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Найдем область значений знаменателя $4 + \cos 5x$. Наименьшее значение знаменателя: $4 + (-1) = 3$. Наибольшее значение знаменателя: $4 + 1 = 5$. Значит, $3 \le 4 + \cos 5x \le 5$. Так как знаменатель всегда положителен, для нахождения области значений дроби нужно взять обратные значения от границ. Наименьшее значение дроби будет $\frac{1}{5}$ (когда знаменатель максимален), а наибольшее — $\frac{1}{3}$ (когда знаменатель минимален). Область значений выражения — отрезок $[\frac{1}{5}, \frac{1}{3}]$. Ответ: $[\frac{1}{5}, \frac{1}{3}]$.

3) $\frac{1}{\sin 4x - 1}$. Область значений функции $\sin 4x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Найдем область значений знаменателя $\sin 4x - 1$. Наименьшее значение знаменателя: $-1 - 1 = -2$. Наибольшее значение знаменателя: $1 - 1 = 0$. Значит, $-2 \le \sin 4x - 1 \le 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sin 4x - 1 \neq 0$, что означает $\sin 4x \neq 1$. Таким образом, знаменатель принимает значения из полуинтервала $[-2, 0)$. Пусть $y = \sin 4x - 1$, тогда $y \in [-2, 0)$. Когда $y = -2$, значение выражения равно $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Когда $y$ стремится к 0 (оставаясь отрицательным), значение выражения $\frac{1}{y}$ стремится к $-\infty$. Следовательно, область значений выражения — это луч $(-\infty, -\frac{1}{2}]$. Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{2}]$.