Номер 18, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Радианная мера угла

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $18^{\circ}$;

2) $240^{\circ}$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{30}$;

2) $1\frac{3}{4}\pi$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1;0)$ на угол:

1) $138^{\circ}$;

2) $\frac{\pi}{7}$;

3) $-\frac{11\pi}{6}$;

4) $-3$?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(0; 1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $P_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

2) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

1. Найдите радианную меру угла, равного:

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

1) 18°;

Подставляем значение в формулу: $18^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{18\pi}{180} = \frac{\pi}{10}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{10}$.

2) 240°.

Подставляем значение в формулу: $240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{240\pi}{180} = \frac{24\pi}{18} = \frac{4\pi}{3}$ радиан.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

1) $\frac{\pi}{30}$;

Подставляем значение в формулу: $\frac{\pi}{30} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{30} = 6^\circ$.

Ответ: $6^\circ$.

2) $1\frac{3}{4}\pi$.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi$.
Теперь подставляем значение в формулу: $\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$.

Ответ: $315^\circ$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1;0)$ на угол:

Координатные четверти определяются следующим образом:
I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$)
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$)
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$)
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$)

1) 138°;

Поскольку $90^\circ < 138^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй координатной четверти.

Ответ: II четверть.

2) $\frac{\pi}{7}$;

Сравним угол с границами четвертей: $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Это верно, так как $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$. Следовательно, точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: I четверть.

3) $-\frac{11\pi}{6}$;

Найдем наименьший положительный угол, соответствующий данной точке, прибавив $2\pi$ (полный оборот):
$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$, точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: I четверть.

4) -3?

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Границы III четверти для отрицательных углов (движение по часовой стрелке): от $-\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$.
$-\pi \approx -3,14$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$.
Поскольку $-\pi < -3 < -\frac{\pi}{2}$ (то есть $-3,14 < -3 < -1,57$), точка находится в третьей координатной четверти.

Ответ: III четверть.

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(0; 1)$, чтобы получить точку:

Начальная точка $P_0(0; 1)$ соответствует углу $\alpha_0 = \frac{\pi}{2}$ на единичной окружности (относительно стандартного начального положения $P(1;0)$). Чтобы найти угол поворота $\alpha$, нужно из угла конечной точки вычесть угол начальной точки и добавить целое число полных оборотов $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1) $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

Конечная точка $P_1$ имеет координаты $(\cos \alpha_1, \sin \alpha_1) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, что соответствует углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$.
Угол поворота $\alpha = \alpha_1 - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi - 2\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Конечная точка $P_2$ имеет координаты $(\cos \alpha_2, \sin \alpha_2) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, что соответствует углу $\alpha_2 = \frac{2\pi}{3}$ (II четверть).
Угол поворота $\alpha = \alpha_2 - \alpha_0 + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2\pi k = \frac{4\pi - 3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

Координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

1) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;

Так как $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов, положение точки определяется углом $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
$x = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Координаты точки: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

2) $\frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае положение точки зависит от целого числа $k$. Поскольку значения синуса и косинуса повторяются с периодом $2\pi$, мы получим 8 различных точек для $k$ от 0 до 7.
При $k=0$: угол $0$, точка $(\cos 0, \sin 0) = (1; 0)$.
При $k=1$: угол $\frac{\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{\pi}{4}, \sin\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=2$: угол $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, точка $\left(\cos\frac{\pi}{2}, \sin\frac{\pi}{2}\right) = (0; 1)$.
При $k=3$: угол $\frac{3\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{3\pi}{4}, \sin\frac{3\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=4$: угол $\frac{4\pi}{4} = \pi$, точка $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1; 0)$.
При $k=5$: угол $\frac{5\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{5\pi}{4}, \sin\frac{5\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=6$: угол $\frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$, точка $\left(\cos\frac{3\pi}{2}, \sin\frac{3\pi}{2}\right) = (0; -1)$.
При $k=7$: угол $\frac{7\pi}{4}$, точка $\left(\cos\frac{7\pi}{4}, \sin\frac{7\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
При $k=8$ точка совпадет с точкой для $k=0$.

Ответ: $(1; 0), \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right), (0; 1), \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right), (-1; 0), \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right), (0; -1), \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.