Номер 17, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - 10} > \sqrt{6 - x}$;

2) $\sqrt{4x^2 + 5x + 1} < x - 1$;

3) $\sqrt{x + 33} > x + 3$;

4) $(8 - 3x)\sqrt{x - 2} \leq 0$;

2. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство

$a\sqrt{x - 2} < 1$.

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - 10} > \sqrt{6 - x}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение с меньшим значением неотрицательно, а другое подкоренное выражение больше него.

$\begin{cases} 3x - 10 > 6 - x \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x + x > 10 + 6$

$4x > 16$

$x > 4$

Решим второе неравенство:

$6 \ge x$, или $x \le 6$

Найдем пересечение решений: $x > 4$ и $x \le 6$.

Таким образом, решение системы: $4 < x \le 6$.

Ответ: $(4, 6]$.

2) $\sqrt{4x^2 + 5x + 1} < x - 1$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Получаем систему:

$\begin{cases} 4x^2 + 5x + 1 \ge 0 \\ x - 1 > 0 \\ 4x^2 + 5x + 1 < (x - 1)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $4x^2 + 5x + 1 \ge 0$. Найдем корни уравнения $4x^2 + 5x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{8}$, откуда $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{1}{4}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{4}, \infty)$.

2. $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

3. $4x^2 + 5x + 1 < (x - 1)^2$
$4x^2 + 5x + 1 < x^2 - 2x + 1$
$3x^2 + 7x < 0$
$x(3x + 7) < 0$
Корни: $x=0$ и $x=-\frac{7}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\frac{7}{3}, 0)$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений:
$x \in ((-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{4}, \infty)) \cap (1, \infty) \cap (-\frac{7}{3}, 0)$.
Пересечение интервалов $(1, \infty)$ и $(-\frac{7}{3}, 0)$ является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x + 33} > x + 3$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему (случай, когда правая часть отрицательна):

$\begin{cases} x + 3 < 0 \\ x + 33 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \ge -33 \end{cases}$

Решение этой системы: $x \in [-33, -3)$.

Рассмотрим вторую систему (случай, когда правая часть неотрицательна):

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x + 33 > (x + 3)^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$x + 33 > x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 5x - 24 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2}$, откуда $x_1 = -8$, $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-8, 3)$.

Теперь решим вторую систему: $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \in (-8, 3) \end{cases}$.

Пересечение этих условий дает $x \in [-3, 3)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$[-33, -3) \cup [-3, 3) = [-33, 3)$.

Ответ: $[-33, 3)$.

4) $(8 - 3x)\sqrt{x - 2} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда один из множителей равен нулю, и выражение определено.
Если $\sqrt{x-2} = 0$, то $x - 2 = 0 \implies x = 2$. При $x=2$ неравенство $0 \le 0$ верно.
Если $8 - 3x = 0$, то $3x = 8 \implies x = \frac{8}{3}$. Это значение входит в ОДЗ. При $x=\frac{8}{3}$ неравенство $0 \le 0$ верно.

2. Когда $\sqrt{x-2} > 0$ (т.е. $x > 2$), и второй множитель $8 - 3x < 0$.
$8 - 3x < 0 \implies 8 < 3x \implies x > \frac{8}{3}$.
Условие $x > \frac{8}{3}$ удовлетворяет условию $x>2$.

Объединим все найденные решения: точка $x=2$ и промежуток $x \ge \frac{8}{3}$ (который включает точку $x=\frac{8}{3}$ из первого случая и интервал $x > \frac{8}{3}$ из второго).

Ответ: $\{2\} \cup [\frac{8}{3}, +\infty)$.

2. Для каждого значения параметра a решите неравенство

$a\sqrt{x - 2} < 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, знак неравенства не изменится:

$\sqrt{x - 2} < \frac{1}{a}$

Так как $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$. Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$x - 2 < (\frac{1}{a})^2$

$x < 2 + \frac{1}{a^2}$

Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), получаем решение для этого случая:

$2 \le x < 2 + \frac{1}{a^2}$

Случай 2: $a = 0$

Неравенство принимает вид:

$0 \cdot \sqrt{x - 2} < 1$

$0 < 1$

Это верное числовое неравенство. Следовательно, при $a=0$ решением является вся область допустимых значений $x$.

$x \ge 2$

Случай 3: $a < 0$

Левая часть неравенства $a\sqrt{x - 2}$ является произведением отрицательного числа $a$ и неотрицательного числа $\sqrt{x-2}$. Таким образом, $a\sqrt{x-2} \le 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Неравенство $a\sqrt{x-2} < 1$ сводится к сравнению неположительного числа с положительным числом 1. Любое неположительное число всегда меньше 1.

Следовательно, при $a<0$ неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

$x \ge 2$

Объединим результаты:

При $a \le 0$ (объединение случаев 2 и 3), решением является $x \in [2, +\infty)$.

При $a > 0$ (случай 1), решением является $x \in [2, 2 + \frac{1}{a^2})$.

Ответ: при $a \le 0$, $x \in [2, +\infty)$; при $a > 0$, $x \in [2, 2 + \frac{1}{a^2})$.