Номер 15, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Иррациональные уравнения

Решите уравнение:

1) $ \sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23} $

2) $ \sqrt{7 - x} = x - 1 $

3) $ (x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6 $

4) $ \sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 5} = 3 $

5) $ \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6 $

1) $\sqrt[12]{2x - 3} = \sqrt[12]{x^2 + x - 23}$

Данное уравнение с корнями четной степени равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и одно из них (а значит, и оба) неотрицательно:

$\begin{cases} 2x - 3 = x^2 + x - 23, \\ 2x - 3 \ge 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$x^2 + x - 2x - 23 + 3 = 0$

$x^2 - x - 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Теперь необходимо проверить найденные корни по второму условию системы $2x - 3 \ge 0$.

Проверка для $x_1 = 5$:

$2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$. Так как $7 \ge 0$, корень $x_1 = 5$ является решением исходного уравнения.

Проверка для $x_2 = -4$:

$2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11$. Так как $-11 < 0$, корень $x_2 = -4$ является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{7 - x} = x - 1$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} 7 - x = (x - 1)^2, \\ x - 1 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, возведя обе части в квадрат:

$7 - x = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 2x + x + 1 - 7 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни по второму условию системы $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Проверка для $x_1 = 3$:

$3 \ge 1$. Условие выполняется, значит, $x=3$ является решением.

Проверка для $x_2 = -2$:

$-2 < 1$. Условие не выполняется, значит, $x=-2$ является посторонним корнем.

Ответ: $3$.

3) $(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6$

Преобразуем правую часть уравнения: $2x - 6 = 2(x - 3)$.

$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2(x - 3)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2(x - 3) = 0$

$(x - 3)(\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$.

Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4$ являются $x_1=1$ и $x_2=4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как при $x=3$ подкоренное выражение $3^2 - 5 \cdot 3 + 4 = 9 - 15 + 4 = -2$ отрицательно. Следовательно, $x=3$ не является решением.

2. $\sqrt{x^2 - 5x + 4} - 2 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2$.
Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 4 = 4$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

Получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 5$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ:

• $x_3 = 0$ принадлежит интервалу $(-\infty, 1]$, следовательно, является решением.
• $x_4 = 5$ принадлежит интервалу $[4, \infty)$, следовательно, является решением.

Ответ: $0; 5$.

4) $\sqrt{x + 10} - \sqrt{x - 5} = 3$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x + 10 \ge 0, \\ x - 5 \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -10, \\ x \ge 5. \end{cases} \implies x \ge 5$.

Уединим один из радикалов:

$\sqrt{x + 10} = 3 + \sqrt{x - 5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x + 10 = (3 + \sqrt{x - 5})^2$

$x + 10 = 9 + 6\sqrt{x - 5} + (x - 5)$

$x + 10 = x + 4 + 6\sqrt{x - 5}$

Приведем подобные слагаемые:

$6 = 6\sqrt{x - 5}$

$1 = \sqrt{x - 5}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1 = x - 5$

$x = 6$

Найденный корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 5$). Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt{6+10} - \sqrt{6-5} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $6$.

5) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 6$

ОДЗ определяется условием $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Заметим, что выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов. Для этого представим $x$ как $(x-1)+1$:

$x + 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1 = (\sqrt{x - 1} + 1)^2$

$x - 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 2\sqrt{x - 1} + 1 = (\sqrt{x - 1} - 1)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^2} = 6$

По свойству $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид:

$|\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1| = 6$

Поскольку $\sqrt{x - 1} \ge 0$, выражение $\sqrt{x - 1} + 1$ всегда положительно, поэтому первый модуль можно опустить:

$\sqrt{x - 1} + 1 + |\sqrt{x - 1} - 1| = 6$

Для раскрытия второго модуля рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{x - 1} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x - 1} \ge 1 \implies x - 1 \ge 1 \implies x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x - 1} - 1| = \sqrt{x - 1} - 1$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x - 1} + 1) + (\sqrt{x - 1} - 1) = 6$

$2\sqrt{x - 1} = 6$

$\sqrt{x - 1} = 3$

$x - 1 = 9 \implies x = 10$.
Корень $x=10$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является решением.

2. $\sqrt{x - 1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x - 1} < 1 \implies x - 1 < 1 \implies x < 2$.
С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $1 \le x < 2$. В этом случае $|\sqrt{x - 1} - 1| = -(\sqrt{x - 1} - 1) = 1 - \sqrt{x - 1}$. Уравнение становится:

$(\sqrt{x - 1} + 1) + (1 - \sqrt{x - 1}) = 6$

$2 = 6$.
Получено неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

Единственным решением уравнения является $x = 10$.

Ответ: $10$.