Номер 21, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Периодические функции

1. Найдите значение выражения:

1) $ctg(-405^{\circ})$; 2) $sin \frac{31\pi}{6}$; 3) $tg \left(-\frac{17\pi}{3}\right)$.

2. На рисунке 3 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 3

а

б

3. Покажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = sin \frac{x}{3}$, $T = 6\pi$;

2) $f(x) = tg \frac{\pi x}{5}$, $T = 5$.

4. Найдите период функции $f(x) = cos 4x + tg \frac{2x}{3}$.

5. Найдите все значения параметра $a$, при которых число $T = \frac{5\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = tg ax$.

1) Используем свойство нечетности котангенса $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$ и его периодичность с периодом $180^\circ$. $\text{ctg}(-405^\circ) = -\text{ctg}(405^\circ) = -\text{ctg}(360^\circ + 45^\circ) = -\text{ctg}(45^\circ) = -1$. Ответ: $-1$.

2) Используем периодичность синуса с периодом $2\pi$ и формулы приведения. $\sin\frac{31\pi}{6} = \sin\left(\frac{30\pi + \pi}{6}\right) = \sin\left(5\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(4\pi + \pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Используем свойство нечетности тангенса $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$ и его периодичность с периодом $\pi$. $\text{tg}\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{17\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{18\pi - \pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(6\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

a) Из графика видно, что период функции $T=2$. На промежутке $[-2T; 2T]$, то есть на $[-4; 4]$, график будет состоять из четырех повторяющихся фрагментов. Каждый фрагмент, определенный на полуинтервале $(2k-2, 2k]$ для целого $k$, представляет собой кривую, начинающуюся в точке $(2k-2, 2)$ (выколотая точка) и заканчивающуюся в точке $(2k, 0)$.

б) Из графика видно, что $T/2=2$, следовательно, период функции $T=4$. На промежутке $[-2T; 2T]$, то есть на $[-8; 8]$, график будет состоять из четырех повторяющихся V-образных фрагментов. Каждый фрагмент, определенный на отрезке $[4k-2, 4k+2]$ для целого $k$, имеет вершину в точке $(4k, 0)$ и проходит через точки $(4k-2, 4)$ и $(4k+2, 4)$.

1) Для функции $f(x) = \sin\frac{x}{3}$ и $T=6\pi$. Область определения функции - все действительные числа. Для любого $x$ из области определения $x+T$ также принадлежит ей. Проверим равенство $f(x+T) = f(x)$: $f(x+6\pi) = \sin\left(\frac{x+6\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{x}{3} + \frac{6\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{x}{3} + 2\pi\right)$. Так как основной период синуса равен $2\pi$, то $\sin(u+2\pi) = \sin(u)$. Следовательно, $\sin\left(\frac{x}{3} + 2\pi\right) = \sin\frac{x}{3} = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется, значит $T=6\pi$ является периодом функции. Ответ: Доказано.

2) Для функции $f(x) = \text{tg}\frac{\pi x}{5}$ и $T=5$. Область определения функции $D(f): \frac{\pi x}{5} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x \neq \frac{5}{2} + 5k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Если $x \in D(f)$, то $x+5 \neq \frac{5}{2} + 5k + 5 = \frac{5}{2} + 5(k+1)$, значит $x+5 \in D(f)$. Проверим равенство $f(x+T) = f(x)$: $f(x+5) = \text{tg}\left(\frac{\pi(x+5)}{5}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi x}{5} + \frac{5\pi}{5}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi x}{5} + \pi\right)$. Так как основной период тангенса равен $\pi$, то $\text{tg}(u+\pi) = \text{tg}(u)$. Следовательно, $\text{tg}\left(\frac{\pi x}{5} + \pi\right) = \text{tg}\frac{\pi x}{5} = f(x)$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется, значит $T=5$ является периодом функции. Ответ: Доказано.

Функция $f(x) = \cos 4x + \text{tg}\frac{2x}{3}$ является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \cos 4x$ и $f_2(x) = \text{tg}\frac{2x}{3}$. Найдем основные периоды каждой из функций. Для $f_1(x) = \cos 4x$ основной период $T_1 = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$. Для $f_2(x) = \text{tg}\frac{2x}{3}$ основной период $T_2 = \frac{\pi}{|2/3|} = \frac{3\pi}{2}$. Период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$. Ищем наименьшие натуральные числа $n_1, n_2$, для которых $n_1 T_1 = n_2 T_2$. $n_1 \frac{\pi}{2} = n_2 \frac{3\pi}{2} \implies n_1 = 3n_2$. Наименьшие натуральные значения: $n_2 = 1, n_1 = 3$. Тогда период $T = 1 \cdot T_2 = \frac{3\pi}{2}$. Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

Число $T = \frac{5\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \text{tg}(ax)$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$, то есть $\text{tg}(a(x+T)) = \text{tg}(ax)$. Это равенство верно, если разность аргументов $a(x+T) - ax = aT$ является кратным основного периода тангенса, который равен $\pi$. Таким образом, $aT = k\pi$, где $k$ - любое целое число, не равное нулю (при $k=0$ получили бы $a=0$, что делает функцию константой или неопределенной). Подставим значение $T = \frac{5\pi}{3}$: $a \cdot \frac{5\pi}{3} = k\pi$. $a \frac{5}{3} = k$. $a = \frac{3k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Ответ: $a = \frac{3k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.