Номер 27, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $\sin \alpha = 0,8$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 4\alpha$.

2. Понизьте степень выражения:

1) $\sin^2 3x$;

2) $\cos^2 \left( 2\alpha - \frac{\pi}{8} \right)$.

3. Докажите тождество:

1) $\cos 4\alpha + 2\sin^2 2\alpha = 1$;

2) $\operatorname{ctg} 6\alpha (1 - \cos 12\alpha) = \sin 12\alpha$.

4. Упростите выражение:

1) $\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}$;

2) $\sqrt{8 + 8\cos 6\alpha}$, если $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

5. Найдите значение выражения $\cos 10^\circ (1 - 4\sin^2 10^\circ)$.

1.

Дано $\sin \alpha = 0,8$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти, где $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$.

Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Так как $\alpha$ во второй четверти, $\cos \alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6$.

1) sin 2α

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\sin 2\alpha = 2 \cdot 0,8 \cdot (-0,6) = -0,96$.

Ответ: $-0,96$.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$\cos 2\alpha = (-0,6)^2 - (0,8)^2 = 0,36 - 0,64 = -0,28$.

Ответ: $-0,28$.

3) tg 4α

Сначала найдем $\text{tg } 2\alpha$: $\text{tg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7}$.

Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg } 4\alpha = \text{tg}(2 \cdot 2\alpha) = \frac{2\text{tg } 2\alpha}{1 - \text{tg}^2 2\alpha}$.

$\text{tg } 4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49-576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{-\frac{527}{49}} = \frac{48}{7} \cdot (-\frac{49}{527}) = -\frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527}$.

Ответ: $-\frac{336}{527}$.

2.

Для понижения степени используются формулы: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ и $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.

1) sin² 3x

Применяем формулу понижения степени для синуса, где в качестве угла выступает $3x$.

$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

Ответ: $\frac{1 - \cos 6x}{2}$.

2) cos²(2α - π/8)

Применяем формулу понижения степени для косинуса, где в качестве угла выступает $(2\alpha - \frac{\pi}{8})$.

$\cos^2(2\alpha - \frac{\pi}{8}) = \frac{1 + \cos(2(2\alpha - \frac{\pi}{8}))}{2} = \frac{1 + \cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

Ответ: $\frac{1 + \cos(4\alpha - \frac{\pi}{4})}{2}$.

3.

1) cos 4α + 2sin² 2α = 1

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Пусть $x=2\alpha$, тогда $\cos 4\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 1 - 2\sin^2 2\alpha$.

Подставим это выражение в левую часть: $(1 - 2\sin^2 2\alpha) + 2\sin^2 2\alpha = 1$.

Получаем $1 = 1$. Тождество доказано.

2) ctg 6α(1 - cos 12α) = sin 12α

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу понижения степени $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.

Пусть $x=6\alpha$, тогда $1 - \cos 12\alpha = 2\sin^2 6\alpha$.

Подставим это выражение в левую часть: $\text{ctg } 6\alpha \cdot (2\sin^2 6\alpha)$.

Запишем $\text{ctg } 6\alpha$ как $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha}$: $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} \cdot 2\sin^2 6\alpha = 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

При $x=6\alpha$ получаем: $2\sin 6\alpha \cos 6\alpha = \sin(2 \cdot 6\alpha) = \sin 12\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

4.

1) $\frac{2\cos^2\alpha - 1}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$

Упростим числитель. По формуле косинуса двойного угла: $2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$.

Упростим знаменатель. Используем формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{tg } x$.

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$.

Знаменатель равен $2 \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} \cdot \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$.

По формуле синуса двойного угла: $2\sin x \cos x = \sin 2x$.

Знаменатель равен $\sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$.

Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$. Получаем $\cos 2\alpha$.

Таким образом, выражение равно $\frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} = 1$ (при условии, что $\cos 2\alpha \neq 0$).

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{8 + 8\cos 6\alpha}$, если $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$

Вынесем 8 за скобки под корнем: $\sqrt{8(1 + \cos 6\alpha)}$.

Используем формулу $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$. Пусть $2x = 6\alpha$, тогда $x = 3\alpha$.

$\sqrt{8 \cdot 2\cos^2 3\alpha} = \sqrt{16\cos^2 3\alpha} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{\cos^2 3\alpha} = 4|\cos 3\alpha|$.

Определим знак $\cos 3\alpha$ из заданного интервала для $\alpha$: $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.

Умножим неравенство на 3: $3 \cdot \frac{\pi}{6} < 3\alpha < 3 \cdot \frac{\pi}{3}$, что дает $\frac{\pi}{2} < 3\alpha < \pi$.

Угол $3\alpha$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, т.е. $\cos 3\alpha < 0$.

Следовательно, $|\cos 3\alpha| = -\cos 3\alpha$.

Выражение равно $4(-\cos 3\alpha) = -4\cos 3\alpha$.

Ответ: $-4\cos 3\alpha$.

5.

Найдем значение выражения $\cos 10^\circ(1 - 4\sin^2 10^\circ)$.

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла в виде $\cos 3\alpha = \cos\alpha(4\cos^2\alpha - 3)$.

Преобразуем ее, заменив $\cos^2\alpha$ на $1-\sin^2\alpha$:

$\cos 3\alpha = \cos\alpha(4(1 - \sin^2\alpha) - 3) = \cos\alpha(4 - 4\sin^2\alpha - 3) = \cos\alpha(1 - 4\sin^2\alpha)$.

Наше выражение в точности соответствует этой формуле при $\alpha = 10^\circ$.

Следовательно, $\cos 10^\circ(1 - 4\sin^2 10^\circ) = \cos(3 \cdot 10^\circ) = \cos 30^\circ$.

Значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.