Номер 26, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

2) $\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

3) $\operatorname{ctg}(\alpha - \pi)$;

4) $\sin^2 \left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)$.

2. Найдите значение выражения

$\sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) \cos \frac{13\pi}{4} \operatorname{tg} \left(-\frac{5\pi}{6}\right) \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6}$.

3. Упростите выражение:

1) $\cos(\pi - \alpha) + \operatorname{tg}(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

2) $\frac{\sin(\beta - \pi)\cos(2\pi - \beta)\sin(2\pi + \beta)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\operatorname{ctg}(\pi - \beta)\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)}$.

4. Упростите выражение $\operatorname{ctg} 20^\circ + \operatorname{ctg} 40^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ + \dots + \operatorname{ctg} 160^\circ$.

1. Упростите выражение:

1) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Используем формулу приведения. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется с $cos$ на $sin$.

$cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$

2) $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Используем формулу приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется с $tg$ на $ctg$.

$tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$

Ответ: $-ctg(\alpha)$

3) $ctg(\alpha - \pi)$

Используем свойство периодичности котангенса (период равен $\pi$).

$ctg(\alpha - \pi) = ctg(\alpha - \pi + \pi) = ctg(\alpha)$

Ответ: $ctg(\alpha)$

4) $sin^2(\frac{7\pi}{2} + \alpha)$

Сначала упростим аргумент синуса, используя периодичность ($2\pi = \frac{4\pi}{2}$).

$\frac{7\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$

$sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = sin(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Теперь применяем формулу приведения. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Функция меняется с $sin$ на $cos$.

$sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$

Возводим в квадрат:

$sin^2(\frac{7\pi}{2} + \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$

Ответ: $cos^2(\alpha)$

2. Найдите значение выражения

Вычислим значение каждого множителя в выражении $sin(-\frac{11\pi}{3}) cos(\frac{13\pi}{4}) tg(-\frac{5\pi}{6}) ctg(\frac{7\pi}{6})$.

• $sin(-\frac{11\pi}{3}) = -sin(\frac{11\pi}{3}) = -sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = -sin(-\frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $cos(\frac{13\pi}{4}) = cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = cos(\frac{5\pi}{4}) = cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $tg(-\frac{5\pi}{6}) = -tg(\frac{5\pi}{6}) = -tg(\pi - \frac{\pi}{6}) = -(-tg(\frac{\pi}{6})) = tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $ctg(\frac{7\pi}{6}) = ctg(\pi + \frac{\pi}{6}) = ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 1 = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$

3. Упростите выражение:

1) $cos(\pi - \alpha) + tg(\pi + \alpha) - sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

• $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ (II четверть, $cos < 0$)
• $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (III четверть, $tg > 0$)
• $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$ (IV четверть, $sin < 0$, функция меняется)
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, $ctg < 0$, функция меняется)

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$-cos(\alpha) + tg(\alpha) - (-cos(\alpha)) + (-tg(\alpha)) = -cos(\alpha) + tg(\alpha) + cos(\alpha) - tg(\alpha) = 0$

Ответ: $0$

2) $\frac{sin(\beta - \pi)cos(2\pi - \beta)sin(2\pi + \beta)}{sin(\frac{\pi}{2} - \beta)ctg(\pi - \beta)ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta)}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя формулы приведения.

Числитель:

• $sin(\beta - \pi) = sin(-(\pi - \beta)) = -sin(\pi - \beta) = -sin(\beta)$
• $cos(2\pi - \beta) = cos(\beta)$
• $sin(2\pi + \beta) = sin(\beta)$

Произведение в числителе: $(-sin(\beta)) \cdot cos(\beta) \cdot sin(\beta) = -sin^2(\beta)cos(\beta)$

Знаменатель:

• $sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = cos(\beta)$
• $ctg(\pi - \beta) = -ctg(\beta)$
• $ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -tg(\beta)$

Произведение в знаменателе: $cos(\beta) \cdot (-ctg(\beta)) \cdot (-tg(\beta)) = cos(\beta) \cdot (ctg(\beta) \cdot tg(\beta)) = cos(\beta) \cdot 1 = cos(\beta)$

Теперь разделим числитель на знаменатель (при $cos(\beta) \neq 0$):

$\frac{-sin^2(\beta)cos(\beta)}{cos(\beta)} = -sin^2(\beta)$

Ответ: $-sin^2(\beta)$

4. Упростите выражение $ctg(20^\circ) + ctg(40^\circ) + ctg(60^\circ) + ... + ctg(160^\circ)$

Данное выражение представляет собой сумму котангенсов углов, образующих арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Полный ряд слагаемых выглядит так:

$ctg(20^\circ) + ctg(40^\circ) + ctg(60^\circ) + ctg(80^\circ) + ctg(100^\circ) + ctg(120^\circ) + ctg(140^\circ) + ctg(160^\circ)$

Воспользуемся формулой приведения $ctg(180^\circ - x) = -ctg(x)$. Сгруппируем слагаемые попарно:

• $ctg(20^\circ) + ctg(160^\circ) = ctg(20^\circ) + ctg(180^\circ - 20^\circ) = ctg(20^\circ) - ctg(20^\circ) = 0$
• $ctg(40^\circ) + ctg(140^\circ) = ctg(40^\circ) + ctg(180^\circ - 40^\circ) = ctg(40^\circ) - ctg(40^\circ) = 0$
• $ctg(60^\circ) + ctg(120^\circ) = ctg(60^\circ) + ctg(180^\circ - 60^\circ) = ctg(60^\circ) - ctg(60^\circ) = 0$
• $ctg(80^\circ) + ctg(100^\circ) = ctg(80^\circ) + ctg(180^\circ - 80^\circ) = ctg(80^\circ) - ctg(80^\circ) = 0$

Сумма всех этих пар равна нулю.

Сумма = $(ctg(20^\circ) + ctg(160^\circ)) + (ctg(40^\circ) + ctg(140^\circ)) + (ctg(60^\circ) + ctg(120^\circ)) + (ctg(80^\circ) + ctg(100^\circ)) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$