Номер 8, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \ge 0$

2) $(x - 2)^2(x^2 - 4x + 3) \ge 0$

3) $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$

4) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \le 0$

2. Найдите множество решений неравенства $(x + 6)(x - a)^2 \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

1) Решим неравенство $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \ge 0$.
Разложим на множители левую часть неравенства: $x(x + 5)(x^2 - 4^2) \ge 0$, что равносильно $x(x + 5)(x - 4)(x + 4) \ge 0$.
Найдем нули функции в левой части: $x = 0, x = -5, x = 4, x = -4$.
Расположим эти точки на числовой оси: -5, -4, 0, 4. Они разбивают ось на 5 интервалов. Определим знак выражения на каждом интервале. На крайнем правом интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются: +, -, +, -, +.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Учитывая, что неравенство нестрогое, сами точки-нули также включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-4, 0] \cup [4, +\infty]$.

2) Решим неравенство $(x - 2)^2(x^2 - 4x + 3) \ge 0$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$. Его корни, согласно теореме Виета, $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $(x - 2)^2(x - 1)(x - 3) \ge 0$.
Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен. Он обращается в ноль при $x=2$. Эта точка является решением, так как неравенство $0 \ge 0$ истинно.
При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен, и знак всего выражения совпадает со знаком произведения $(x - 1)(x - 3)$.
Решим неравенство $(x - 1)(x - 3) \ge 0$. Его решением является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.
Объединяя полученное множество с решением $x=2$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [3, +\infty]$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 3 \ne 0 \implies x \ne -3$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 7x - 8}{x + 3} \le 0$.
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 1)(x + 8)}{x + 3} \le 0$.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x = 1, x = -8$. Нуль знаменателя: $x = -3$.
Нанесем точки на числовую ось. Точки $1$ и $-8$ включаем в решение, а точку $-3$ исключаем (выкалываем).
Знаки выражения на интервалах (справа налево): +, -, +, -.
Выбираем интервалы со знаком "минус", так как решаем неравенство $\le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup (-3, 1]$.

4) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \le 0$.
Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 10x + 9 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 10x + 9 = 0$ это $x_1 = -9$ и $x_2 = -1$. Так как это парабола с ветвями вверх, решением неравенства является $x \in (-\infty, -9] \cup [-1, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Множитель $\sqrt{x^2 + 10x + 9}$ всегда неотрицателен в ОДЗ. Произведение будет меньше или равно нулю в двух случаях:
1. Когда $\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0$, то есть при $x=-9$ и $x=-1$. Эти точки принадлежат ОДЗ и являются решениями.
2. Когда $x^2 - 6x + 8 \le 0$ и $\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0$.
Решим $x^2 - 6x + 8 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Решением является отрезок $[2, 4]$.
Проверим, принадлежит ли этот отрезок ОДЗ. Интервал $[2, 4]$ полностью содержится в $[-1, +\infty)$, следовательно, он является частью решения.
Объединяя все найденные решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in \{-9, -1\} \cup [2, 4]$.

2. Рассмотрим неравенство $(x + 6)(x - a)^2 \le 0$.
Множитель $(x - a)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $a$.
Неравенство выполняется в следующих случаях:
1. Если $(x - a)^2 = 0$, то есть $x = a$. При подстановке в неравенство получаем $(a+6) \cdot 0 \le 0$, что является верным утверждением $0 \le 0$. Следовательно, $x = a$ является решением при любом значении параметра $a$.
2. Если $(x-a)^2 > 0$ (то есть $x \ne a$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x+6)$ был неположителен: $x + 6 \le 0$, откуда $x \le -6$.
Объединив решения, получаем, что множество решений неравенства есть $(-\infty, -6] \cup \{a\}$.
Теперь проанализируем это множество в зависимости от значения параметра $a$:
- Если $a \le -6$, то точка $a$ уже содержится в промежутке $(-\infty, -6]$. В этом случае объединение множеств дает сам промежуток $(-\infty, -6]$.
- Если $a > -6$, то точка $a$ не входит в промежуток $(-\infty, -6]$ и является изолированным решением. Множество решений в этом случае — это объединение промежутка и этой точки.
Ответ:
Если $a \le -6$, то $x \in (-\infty, -6]$;
Если $a > -6$, то $x \in (-\infty, -6] \cup \{a\}$.