Номер 3, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Высказывания и операции над ними

1. Даны два высказывания: $A=\left\{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}\right\}, B=\{8>11\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \wedge \overline{B}$;

2) $\overline{A} \vee \overline{B}$;

3) $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$;

4) $\overline{A} \Leftrightarrow B$.

2. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания. Известно, что $f(B)=0$ и $f(A \wedge \overline{B})=0$. Найдите $f(A)$.

3. Составьте таблицу истинности для логического выражения $(A \vee \overline{B}) \Rightarrow C$.

1.

Сначала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $A = \{\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\}$. Приведем дробь $\frac{4}{10}$ к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$. Таким образом, равенство $\frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ верно. Следовательно, высказывание A истинно (A = 1).

Высказывание B: $B = \{8 > 11\}$. Это неравенство неверно, так как 8 меньше 11. Следовательно, высказывание B ложно (B = 0).

Теперь, зная что A = 1 и B = 0, найдем истинность их отрицаний: $\bar{A}$ (не A) будет ложным ($\bar{A}$ = 0), а $\bar{B}$ (не B) будет истинным ($\bar{B}$ = 1).

Проверим истинность составных высказываний:

1) $A \wedge \bar{B}$

Это конъюнкция (логическое "И"). Она истинна только тогда, когда оба высказывания истинны. В нашем случае A = 1 и $\bar{B}$ = 1. Выражение принимает вид $1 \wedge 1$, что является истиной.

Ответ: истинно.

2) $\bar{A} \vee \bar{B}$

Это дизъюнкция (логическое "ИЛИ"). Она истинна, если хотя бы одно из высказываний истинно. В нашем случае $\bar{A}$ = 0 и $\bar{B}$ = 1. Выражение принимает вид $0 \vee 1$, что является истиной.

Ответ: истинно.

3) $\bar{B} \Rightarrow \bar{A}$

Это импликация (следование). Она ложна только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. В нашем случае $\bar{B}$ = 1, а $\bar{A}$ = 0. Выражение принимает вид $1 \Rightarrow 0$, что является ложью.

Ответ: ложно.

4) $\bar{A} \Leftrightarrow B$

Это эквиваленция (равносильность). Она истинна тогда, когда оба высказывания имеют одинаковую истинность. В нашем случае $\bar{A}$ = 0 и B = 0. Выражение принимает вид $0 \Leftrightarrow 0$, что является истиной.

Ответ: истинно.

2.

По условию, нам даны значения истинности для двух высказываний. Во-первых, $f(B) = 0$, что означает, что высказывание B является ложным. Во-вторых, $f(A \wedge \bar{B}) = 0$, что означает, что высказывание $A \wedge \bar{B}$ является ложным.

Из первого условия, $f(B) = 0$ (B - ложь), следует, что его отрицание $\bar{B}$ является истинным, то есть $f(\bar{B}) = 1$.

Теперь рассмотрим второе условие: $f(A \wedge \bar{B}) = 0$. Мы знаем, что конъюнкция (логическое "И"), обозначаемая как $X \wedge Y$, ложна, если хотя бы один из операндов ($X$ или $Y$) ложен.

В нашем выражении $A \wedge \bar{B}$ мы уже установили, что $\bar{B}$ истинно ($f(\bar{B})=1$). Для того чтобы вся конъюнкция была ложной, необходимо, чтобы высказывание A было ложным.

Действительно, если предположить, что A истинно ($f(A)=1$), то выражение $A \wedge \bar{B}$ стало бы $1 \wedge 1$, что равно 1 (истина). Это противоречит условию, что $f(A \wedge \bar{B}) = 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и A должно быть ложным.

Таким образом, значение истинности для A равно 0.

Ответ: $f(A)=0$.

3.

Составим таблицу истинности для логического выражения $\overline{(A \vee B)} \Rightarrow C$. В таблице будем использовать 1 для "истинно" и 0 для "ложно".

Ответ: