Номер 5, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$;

2) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 4x}$;

2) $y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке:

1) [-3; 1];

2) [1; 4].

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$ найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 + 2x \neq 0 \Rightarrow x(x^2+2) \neq 0$. Так как $x^2+2 > 0$ для любого $x$, то $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим условие нечётности: $f(-x) = -f(x)$.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 2x} = \frac{1}{-(x^3 + 2x)} = -\frac{1}{x^3 + 2x} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$ найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 6 \Rightarrow -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$. Область определения $D(f) = [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$ симметрична относительно нуля. Проверим условие чётности: $f(-x) = f(x)$.
$f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$ найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 8 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 8 \Rightarrow x \neq 4$. Область определения $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля (например, точка $-4$ принадлежит области определения, а точка $4$ — нет). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 4x}$.
Найдём область определения: $x^2 - 4x \ge 0 \Rightarrow x(x-4) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.
Найдём нули функции, решив уравнение $y=0$: $\sqrt{x^2 - 4x} = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Нули функции: $x_1 = 0, x_2 = 4$.
Найдём промежутки знакопостоянства. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то $y \ge 0$ на всей области определения. Функция равна нулю в точках $x=0$ и $x=4$. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: нули функции: $x=0, x=4$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$; функция не принимает отрицательных значений.

2) Для функции $y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}$.
Область определения та же, что и в предыдущем пункте: $D(y) = (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.
Найдём нули функции: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4x} = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$. Эта точка не входит в область определения, поэтому не является нулём функции.
$\sqrt{x^2 - 4x}=0 \Rightarrow x=0$ или $x=4$. Обе точки входят в область определения.
Нули функции: $x_1=0, x_2=4$.
Найдём промежутки знакопостоянства. Знак функции $y$ совпадает со знаком множителя $(x-1)$, так как $\sqrt{x^2 - 4x} \ge 0$.
Рассмотрим область определения: $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; 0)$, множитель $(x-1)$ отрицателен, значит $y < 0$.
При $x \in (4; +\infty)$, множитель $(x-1)$ положителен, значит $y > 0$.
Ответ: нули функции: $x=0, x=4$; $y>0$ при $x \in (4; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

1) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке $[-3; 1]$.
Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение парабола принимает в своей вершине. Координата вершины по оси абсцисс: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Вершина $x_в = 2$ не принадлежит промежутку $[-3; 1]$. На промежутке $(-\infty; 2]$ функция убывает. Так как отрезок $[-3; 1]$ целиком лежит в этом промежутке, то на нём функция также монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
$y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23$.
$y_{наим} = y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
Ответ: наибольшее значение 23, наименьшее значение -1.

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке $[1; 4]$.
Координата вершины параболы $x_в = 2$ принадлежит промежутку $[1; 4]$. Так как это парабола с ветвями вверх, наименьшее значение на отрезке будет достигаться в вершине.
$y_{наим} = y(2) = 2^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
$y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$.
Сравнивая значения на концах отрезка, $y_{наиб} = 2$.
Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение -2.

4. Найдём область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$.
Пусть $y$ — некоторое значение функции, тогда уравнение $y = \frac{x}{x^2 + 16}$ имеет хотя бы одно решение относительно $x$.
Преобразуем уравнение: $y(x^2 + 16) = x \Rightarrow yx^2 - x + 16y = 0$.
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $x$.
Если $y=0$, уравнение принимает вид $-x = 0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ принадлежит области значений.
Если $y \neq 0$, то это квадратное уравнение. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (16y) = 1 - 64y^2$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$1 - 64y^2 \ge 0$
$64y^2 \le 1$
$y^2 \le \frac{1}{64}$
$-\sqrt{\frac{1}{64}} \le y \le \sqrt{\frac{1}{64}}$
$-\frac{1}{8} \le y \le \frac{1}{8}$.
Это неравенство включает и случай $y=0$. Таким образом, область значений функции — это все $y$, удовлетворяющие этому условию.
Область значений функции: $E(f) = [-\frac{1}{8}; \frac{1}{8}]$.
Ответ: $[-\frac{1}{8}; \frac{1}{8}]$.