Страница 6 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Функция и её свойства

1. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$;

2) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$.

2. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 4x}$;

2) $y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке:

1) [-3; 1];

2) [1; 4].

4. Найдите область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$ найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 + 2x \neq 0 \Rightarrow x(x^2+2) \neq 0$. Так как $x^2+2 > 0$ для любого $x$, то $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим условие нечётности: $f(-x) = -f(x)$.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 2x} = \frac{1}{-(x^3 + 2x)} = -\frac{1}{x^3 + 2x} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$ найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 6 \Rightarrow -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$. Область определения $D(f) = [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$ симметрична относительно нуля. Проверим условие чётности: $f(-x) = f(x)$.
$f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2} = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

3) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$ найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 8 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 8 \Rightarrow x \neq 4$. Область определения $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля (например, точка $-4$ принадлежит области определения, а точка $4$ — нет). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 4x}$.
Найдём область определения: $x^2 - 4x \ge 0 \Rightarrow x(x-4) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.
Найдём нули функции, решив уравнение $y=0$: $\sqrt{x^2 - 4x} = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$. Нули функции: $x_1 = 0, x_2 = 4$.
Найдём промежутки знакопостоянства. Так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то $y \ge 0$ на всей области определения. Функция равна нулю в точках $x=0$ и $x=4$. Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: нули функции: $x=0, x=4$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$; функция не принимает отрицательных значений.

2) Для функции $y = (x - 1)\sqrt{x^2 - 4x}$.
Область определения та же, что и в предыдущем пункте: $D(y) = (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.
Найдём нули функции: $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4x} = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$. Эта точка не входит в область определения, поэтому не является нулём функции.
$\sqrt{x^2 - 4x}=0 \Rightarrow x=0$ или $x=4$. Обе точки входят в область определения.
Нули функции: $x_1=0, x_2=4$.
Найдём промежутки знакопостоянства. Знак функции $y$ совпадает со знаком множителя $(x-1)$, так как $\sqrt{x^2 - 4x} \ge 0$.
Рассмотрим область определения: $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; 0)$, множитель $(x-1)$ отрицателен, значит $y < 0$.
При $x \in (4; +\infty)$, множитель $(x-1)$ положителен, значит $y > 0$.
Ответ: нули функции: $x=0, x=4$; $y>0$ при $x \in (4; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

1) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке $[-3; 1]$.
Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение парабола принимает в своей вершине. Координата вершины по оси абсцисс: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Вершина $x_в = 2$ не принадлежит промежутку $[-3; 1]$. На промежутке $(-\infty; 2]$ функция убывает. Так как отрезок $[-3; 1]$ целиком лежит в этом промежутке, то на нём функция также монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом.
$y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23$.
$y_{наим} = y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
Ответ: наибольшее значение 23, наименьшее значение -1.

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке $[1; 4]$.
Координата вершины параболы $x_в = 2$ принадлежит промежутку $[1; 4]$. Так как это парабола с ветвями вверх, наименьшее значение на отрезке будет достигаться в вершине.
$y_{наим} = y(2) = 2^2 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
$y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$.
Сравнивая значения на концах отрезка, $y_{наиб} = 2$.
Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение -2.

4. Найдём область значений функции $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$.
Пусть $y$ — некоторое значение функции, тогда уравнение $y = \frac{x}{x^2 + 16}$ имеет хотя бы одно решение относительно $x$.
Преобразуем уравнение: $y(x^2 + 16) = x \Rightarrow yx^2 - x + 16y = 0$.
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $x$.
Если $y=0$, уравнение принимает вид $-x = 0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ принадлежит области значений.
Если $y \neq 0$, то это квадратное уравнение. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (16y) = 1 - 64y^2$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$1 - 64y^2 \ge 0$
$64y^2 \le 1$
$y^2 \le \frac{1}{64}$
$-\sqrt{\frac{1}{64}} \le y \le \sqrt{\frac{1}{64}}$
$-\frac{1}{8} \le y \le \frac{1}{8}$.
Это неравенство включает и случай $y=0$. Таким образом, область значений функции — это все $y$, удовлетворяющие этому условию.
Область значений функции: $E(f) = [-\frac{1}{8}; \frac{1}{8}]$.
Ответ: $[-\frac{1}{8}; \frac{1}{8}]$.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x+1}$;

2) $y = \left|\frac{1}{3x+1}\right|$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3-2x}$;

2) $y = \sqrt{3-2|x|}$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|4|x|-1| = a(x+2)$ имеет три корня?

1)

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3x+1}$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

2. Строим график функции $y = \frac{1}{3x}$. Это результат сжатия графика $y = \frac{1}{x}$ к оси OY в 3 раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/3, y_0)$.

3. Преобразуем исходную функцию: $y = \frac{1}{3x+1} = \frac{1}{3(x + 1/3)}$. Это означает, что график $y = \frac{1}{3x}$ нужно сдвинуть влево по оси OX на $1/3$.

Итоговый график — это гипербола с вертикальной асимптотой $x = -1/3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3x+1}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сжатия к оси OY в 3 раза и последующего сдвига влево на $1/3$. Это гипербола с асимптотами $x = -1/3$ и $y=0$.

2)

Для построения графика функции $y = \left|\frac{1}{3x+1}\right|$ воспользуемся правилом построения графика $y = |f(x)|$.

1. Сначала строим график функции $y = f(x) = \frac{1}{3x+1}$, как это сделано в предыдущем пункте.

2. Часть графика, которая расположена выше или на оси OX (где $y \ge 0$), остается без изменений.

3. Часть графика, которая расположена ниже оси OX (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

В результате обе ветви гиперболы будут находиться в верхней полуплоскости ($y > 0$). Асимптоты остаются прежними: $x = -1/3$ и $y=0$.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{1}{3x+1}\right|$ получается из графика $y = \frac{1}{3x+1}$ путем симметричного отражения его части, лежащей ниже оси OX, относительно оси OX.

2.

1)

Для построения графика функции $y = \sqrt{3-2x}$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси OX, с вершиной в точке $(0,0)$.

2. Строим график $y = \sqrt{-x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси OY.

3. Строим график $y = \sqrt{-2x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{-x}$ сжатием к оси OY в 2 раза.

4. Преобразуем исходную функцию: $y = \sqrt{3-2x} = \sqrt{-2(x - 3/2)}$. Это означает, что график $y = \sqrt{-2x}$ нужно сдвинуть вправо по оси OX на $3/2$.

Итоговый график — это ветвь параболы, выходящая из точки $(3/2, 0)$ и идущая влево и вверх. Область определения: $3-2x \ge 0 \implies x \le 3/2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3-2x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, сжатия к оси OY в 2 раза и сдвига вправо на $3/2$.

2)

Для построения графика функции $y = \sqrt{3-2|x|}$ воспользуемся правилом построения графика $y = f(|x|)$.

1. Сначала строим график функции $y = f(x) = \sqrt{3-2x}$, как это сделано в предыдущем пункте.

2. Часть графика, которая находится в правой полуплоскости и на оси OY (где $x \ge 0$), оставляем без изменений.

3. Часть графика, которая находится в левой полуплоскости (где $x < 0$), удаляем.

4. Оставшуюся часть графика ($x \ge 0$) симметрично отражаем относительно оси OY.

Часть графика $y = \sqrt{3-2x}$ при $x \ge 0$ — это дуга, соединяющая точки $(0, \sqrt{3})$ и $(3/2, 0)$. Отразив ее относительно оси OY, мы получим симметричную дугу, соединяющую точки $(-3/2, 0)$ и $(0, \sqrt{3})$. Итоговый график симметричен относительно оси OY. Область определения: $3-2|x| \ge 0 \implies |x| \le 3/2 \implies x \in [-3/2, 3/2]$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3-2|x|}$ получается из части графика $y = \sqrt{3-2x}$ для $x \ge 0$ путем ее симметричного отражения относительно оси OY.

3.

Решим данное уравнение графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |4|x|-1|$ и $y = a(x+2)$.

Построение графика $y = |4|x|-1|$:

1. Начнем с прямой $y = 4x-1$.

2. График $y = 4|x|-1$ получается из части прямой $y=4x-1$ при $x \ge 0$ и ее симметричного отражения относительно оси OY. Это V-образный график ("галочка") с вершиной в точке $(0, -1)$.

3. График $y = |4|x|-1|$ получается из предыдущего графика путем отражения части, лежащей ниже оси OX, вверх относительно оси OX. Вершина $(0,-1)$ перейдет в точку $(0,1)$. Итоговый график имеет W-образную форму. Его ключевые точки: два "угла" на оси OX в точках $(-1/4, 0)$ и $(1/4, 0)$, и "вершина" (локальный максимум) в точке $(0, 1)$.

Анализ графика $y = a(x+2)$:

Это уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку $(-2, 0)$ (так как при $x=-2$ выражение равно нулю для любого $a$). Параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

Поиск количества пересечений:

Будем мысленно вращать прямую $y = a(x+2)$ вокруг точки $(-2, 0)$ и считать количество точек пересечения с W-образным графиком.

• При $a \le 0$ прямая будет иметь не более двух точек пересечения.

• При $a > 0$ прямая наклонена вправо. При малых значениях $a$ будет две точки пересечения (на крайних "лучах" W-графика).

• Количество точек пересечения изменится, когда прямая пройдет через одну из вершин W-графика. Наиболее интересный случай для получения трех корней — прохождение через вершину $(0, 1)$.

• Найдем значение $a$, при котором прямая $y=a(x+2)$ проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 1)$. Угловой коэффициент $a$ равен: $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1-0}{0 - (-2)} = \frac{1}{2}$.

• При $a = 1/2$ прямая проходит точно через вершину $(0,1)$ W-графика. Кроме этой точки, она пересекает два крайних луча графика. Таким образом, мы имеем ровно три точки пересечения, то есть три корня уравнения.

• Если $a > 1/2$, прямая пройдет "выше" вершины $(0,1)$ и будет пересекать W-график в четырех точках (пока не станет параллельной одному из лучей). Если $0 < a < 1/2$, прямая пройдет "ниже" вершины $(0,1)$ и будет иметь две точки пересечения.

Таким образом, уравнение имеет три корня только при одном значении параметра $a$.

Ответ: $a=1/2$.