Страница 7 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Обратная функция

1. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 3x - 2$;

2) $y = x^2, D(y) = [1; +\infty)$;

3) $y = x^2, D(y) = [-2; +\infty)?$

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2x + 4$;

2) $y = 1 + \sqrt{x+3}$.

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 2, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

Рис. 2

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^3 + x - 27$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

1. Какие из функций являются обратимыми:

Функция является обратимой на некотором промежутке, если она на этом промежутке строго монотонна (строго возрастает или строго убывает). Это означает, что каждому значению функции соответствует только одно значение аргумента.

1) $y = 3x - 2$

Это линейная функция, её график - прямая. Угловой коэффициент $k=3 > 0$, следовательно, функция строго возрастает на всей числовой прямой. Значит, функция является обратимой.
Ответ: является обратимой.

2) $y = x^2, D(y) = [1; +\infty)$

Здесь, вероятно, $D(y)$ обозначает область определения функции, то есть $x \in [1; +\infty)$. На этом промежутке функция $y = x^2$ является строго возрастающей (вершина параболы находится в точке $x=0$, а на промежутке $[1; +\infty)$ мы рассматриваем правую ветвь параболы, которая идет вверх). Следовательно, функция является обратимой.
Ответ: является обратимой.

3) $y = x^2, D(y) = [-2; +\infty)$

Предполагая, что $D(y)$ — это область определения $x \in [-2; +\infty)$, мы видим, что на этом промежутке функция не является монотонной. Например, на отрезке $[-2, 0]$ функция убывает, а на промежутке $[0, +\infty)$ она возрастает. Так как функция не является строго монотонной на всей области определения, она не является обратимой. Например, $f(-1) = (-1)^2 = 1$ и $f(1) = 1^2 = 1$. Разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.
Ответ: не является обратимой.

2. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2x + 4$

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x + 4$:
$2x = y - 4$
$x = \frac{y-4}{2}$
$x = \frac{1}{2}y - 2$
Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить функцию в стандартном виде:
$y = \frac{1}{2}x - 2$
Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 2$.

2) $y = 1 + \sqrt{x+3}$

Сначала определим область определения и область значений исходной функции.
Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$. То есть $D(f) = [-3; +\infty)$.
Область значений: так как $\sqrt{x+3} \ge 0$, то $1 + \sqrt{x+3} \ge 1$. То есть $E(f) = [1; +\infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$y - 1 = \sqrt{x+3}$
Возведём обе части в квадрат (учитывая, что левая часть $y-1$ должна быть неотрицательной, что соответствует найденной области значений $y \ge 1$):
$(y-1)^2 = x+3$
$x = (y-1)^2 - 3$
Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$:
$y = (x-1)^2 - 3$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 1$.
Ответ: $y = (x-1)^2 - 3$, при $x \ge 1$.

3. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 2, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

График обратной функции $g$ симметричен графику исходной функции $f$ относительно прямой $y=x$.
Чтобы построить график функции $g$, выполним следующие шаги:
1. Выберем несколько ключевых точек на графике функции $f$. Из графика видно, что функция $f$ проходит через точки: $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
2. Для каждой точки $(a, b)$ на графике $f$ найдём соответствующую точку $(b, a)$ на графике $g$. Получаем точки для графика $g$: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.
3. Исходная функция $f$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$), так как график приближается к этой оси при $x \to -\infty$. Следовательно, обратная функция $g$ будет иметь вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$).
4. Построим на координатной плоскости полученные точки $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$ и соединим их плавной кривой. Эта кривая будет начинаться близко к оси $Oy$ (вертикальная асимптота) снизу и возрастать вправо.
Заметим, что исходный график похож на $y=2^x$, тогда обратная функция — это $y=\log_2 x$, что соответствует найденным точкам и асимптоте.
Ответ: График функции $g$ - это кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он является зеркальным отражением графика функции $f$ относительно прямой $y=x$.

4. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^3 + x - 27$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.

Графики взаимно обратных функций $f(x)$ и $g(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$. Точки их пересечения (если они существуют) лежат на этой прямой. Это справедливо, если функция $f(x)$ является строго возрастающей.
Проверим монотонность функции $f(x) = x^3 + x - 27$. Найдем её производную:
$f'(x) = (x^3 + x - 27)' = 3x^2 + 1$.
Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$.
Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси.
Следовательно, точки пересечения графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$ лежат на прямой $y=x$. Поэтому решение уравнения $f(x)=g(x)$ эквивалентно решению уравнения $f(x)=x$.
Решим уравнение $f(x)=x$:
$x^3 + x - 27 = x$
$x^3 - 27 = 0$
$x^3 = 27$
$x = \sqrt[3]{27}$
$x = 3$
Проверка: $f(3) = 3^3 + 3 - 27 = 27 + 3 - 27 = 3$. Так как $f(3)=3$, точка $(3, 3)$ лежит на графике $f$ и на прямой $y=x$, следовательно, она также лежит и на графике $g$.
Ответ: $x=3$.

Самостоятельная работа № 8

Метод интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \ge 0$

2) $(x - 2)^2(x^2 - 4x + 3) \ge 0$

3) $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$

4) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \le 0$

2. Найдите множество решений неравенства $(x + 6)(x - a)^2 \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

1) Решим неравенство $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \ge 0$.
Разложим на множители левую часть неравенства: $x(x + 5)(x^2 - 4^2) \ge 0$, что равносильно $x(x + 5)(x - 4)(x + 4) \ge 0$.
Найдем нули функции в левой части: $x = 0, x = -5, x = 4, x = -4$.
Расположим эти точки на числовой оси: -5, -4, 0, 4. Они разбивают ось на 5 интервалов. Определим знак выражения на каждом интервале. На крайнем правом интервале $(4, +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются: +, -, +, -, +.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Учитывая, что неравенство нестрогое, сами точки-нули также включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-4, 0] \cup [4, +\infty]$.

2) Решим неравенство $(x - 2)^2(x^2 - 4x + 3) \ge 0$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$. Его корни, согласно теореме Виета, $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $(x - 2)^2(x - 1)(x - 3) \ge 0$.
Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен. Он обращается в ноль при $x=2$. Эта точка является решением, так как неравенство $0 \ge 0$ истинно.
При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ положителен, и знак всего выражения совпадает со знаком произведения $(x - 1)(x - 3)$.
Решим неравенство $(x - 1)(x - 3) \ge 0$. Его решением является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.
Объединяя полученное множество с решением $x=2$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [3, +\infty]$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 + 7x}{x + 3} \le \frac{8}{x + 3}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 3 \ne 0 \implies x \ne -3$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 + 7x - 8}{x + 3} \le 0$.
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 1)(x + 8)}{x + 3} \le 0$.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x = 1, x = -8$. Нуль знаменателя: $x = -3$.
Нанесем точки на числовую ось. Точки $1$ и $-8$ включаем в решение, а точку $-3$ исключаем (выкалываем).
Знаки выражения на интервалах (справа налево): +, -, +, -.
Выбираем интервалы со знаком "минус", так как решаем неравенство $\le 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup (-3, 1]$.

4) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 + 10x + 9} \le 0$.
Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 10x + 9 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 10x + 9 = 0$ это $x_1 = -9$ и $x_2 = -1$. Так как это парабола с ветвями вверх, решением неравенства является $x \in (-\infty, -9] \cup [-1, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Множитель $\sqrt{x^2 + 10x + 9}$ всегда неотрицателен в ОДЗ. Произведение будет меньше или равно нулю в двух случаях:
1. Когда $\sqrt{x^2 + 10x + 9} = 0$, то есть при $x=-9$ и $x=-1$. Эти точки принадлежат ОДЗ и являются решениями.
2. Когда $x^2 - 6x + 8 \le 0$ и $\sqrt{x^2 + 10x + 9} > 0$.
Решим $x^2 - 6x + 8 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Решением является отрезок $[2, 4]$.
Проверим, принадлежит ли этот отрезок ОДЗ. Интервал $[2, 4]$ полностью содержится в $[-1, +\infty)$, следовательно, он является частью решения.
Объединяя все найденные решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in \{-9, -1\} \cup [2, 4]$.

2. Рассмотрим неравенство $(x + 6)(x - a)^2 \le 0$.
Множитель $(x - a)^2$ всегда неотрицателен, т.е. $(x-a)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $a$.
Неравенство выполняется в следующих случаях:
1. Если $(x - a)^2 = 0$, то есть $x = a$. При подстановке в неравенство получаем $(a+6) \cdot 0 \le 0$, что является верным утверждением $0 \le 0$. Следовательно, $x = a$ является решением при любом значении параметра $a$.
2. Если $(x-a)^2 > 0$ (то есть $x \ne a$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x+6)$ был неположителен: $x + 6 \le 0$, откуда $x \le -6$.
Объединив решения, получаем, что множество решений неравенства есть $(-\infty, -6] \cup \{a\}$.
Теперь проанализируем это множество в зависимости от значения параметра $a$:
- Если $a \le -6$, то точка $a$ уже содержится в промежутке $(-\infty, -6]$. В этом случае объединение множеств дает сам промежуток $(-\infty, -6]$.
- Если $a > -6$, то точка $a$ не входит в промежуток $(-\infty, -6]$ и является изолированным решением. Множество решений в этом случае — это объединение промежутка и этой точки.
Ответ:
Если $a \le -6$, то $x \in (-\infty, -6]$;
Если $a > -6$, то $x \in (-\infty, -6] \cup \{a\}$.