Страница 13 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Тригонометрические функции

числового аргумента

1. Найдите значение выражения:

1) $2\cos 0^\circ + 5\sin 90^\circ - 4\operatorname{tg} 180^\circ;$

2) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} + 3\cos \frac{\pi}{2} - 4\sin \frac{3\pi}{2};$

3) $\frac{\left(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2}\right)\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} - \operatorname{tg} 2\pi}.$

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin\alpha;$

2) $\cos^2\alpha - 5;$

3) $\frac{\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\cos\alpha}.$

3. Найдите область значений выражения:

1) $\operatorname{tg}^6x - 4;$

2) $\frac{1}{4 + \cos 5x};$

3) $\frac{1}{\sin 4x - 1}.$

1. Найдите значение выражения:

1) $2\cos 0^{\circ} + 5\sin 90^{\circ} - 4\text{tg } 180^{\circ}$. Зная значения тригонометрических функций для данных углов: $\cos 0^{\circ} = 1$, $\sin 90^{\circ} = 1$ и $\text{tg } 180^{\circ} = 0$. Подставляем эти значения в выражение: $2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 2 + 5 - 0 = 7$. Ответ: 7.

2) $\text{ctg}\frac{\pi}{2} + 3\cos\frac{\pi}{2} - 4\sin\frac{3\pi}{2}$. Зная значения тригонометрических функций для данных углов: $\text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$. Подставляем эти значения в выражение: $0 + 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-1) = 0 + 0 + 4 = 4$. Ответ: 4.

3) $\frac{(\sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{3\pi}{2})\text{ctg}\frac{\pi}{6}}{\text{tg}\frac{\pi}{3} - \text{tg }2\pi}$. Найдем значения тригонометрических функций: $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$, $\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\text{tg }2\pi = 0$. Подставляем значения в числитель и знаменатель. Числитель: $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 0) \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Знаменатель: $\sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin\alpha$. Область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$. Умножим все части неравенства на 3: $-3 \le 3\sin\alpha \le 3$. Прибавим ко всем частям неравенства 1: $1 - 3 \le 1 + 3\sin\alpha \le 1 + 3$, что дает $-2 \le 1 + 3\sin\alpha \le 4$. Наименьшее значение выражения равно -2, наибольшее равно 4. Ответ: наименьшее значение: -2, наибольшее значение: 4.

2) $\cos^2\alpha - 5$. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos\alpha \le 1$. При возведении в квадрат, область значений для $\cos^2\alpha$ будет $0 \le \cos^2\alpha \le 1$. Вычтем 5 из всех частей неравенства: $0 - 5 \le \cos^2\alpha - 5 \le 1 - 5$, что дает $-5 \le \cos^2\alpha - 5 \le -4$. Наименьшее значение выражения равно -5, наибольшее равно -4. Ответ: наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -4.

3) $\frac{\cos\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha}$. При условии, что $\cos\alpha \neq 0$, выражение можно упростить до $1-\sin\alpha$. Область значений функции $\sin\alpha$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наименьшее значение выражения $1-\sin\alpha$ достигается, когда $\sin\alpha$ принимает наибольшее значение, то есть $\sin\alpha = 1$. Наименьшее значение: $1 - 1 = 0$. Наибольшее значение достигается, когда $\sin\alpha$ принимает наименьшее значение, то есть $\sin\alpha = -1$. Наибольшее значение: $1 - (-1) = 2$. Ответ: наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 2.

3. Найдите область значений выражения:

1) $\text{tg}^6x - 4$. Область значений функции $\text{tg } x$ — это все действительные числа, $(-\infty, +\infty)$. Так как показатель степени 6 — четное число, то $\text{tg}^6x$ принимает только неотрицательные значения. Область его значений — $[0, +\infty)$. Вычитая 4, получаем область значений для всего выражения: $[0-4, +\infty)$, то есть $[-4, +\infty)$. Ответ: $[-4, +\infty)$.

2) $\frac{1}{4 + \cos 5x}$. Область значений функции $\cos 5x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Найдем область значений знаменателя $4 + \cos 5x$. Наименьшее значение знаменателя: $4 + (-1) = 3$. Наибольшее значение знаменателя: $4 + 1 = 5$. Значит, $3 \le 4 + \cos 5x \le 5$. Так как знаменатель всегда положителен, для нахождения области значений дроби нужно взять обратные значения от границ. Наименьшее значение дроби будет $\frac{1}{5}$ (когда знаменатель максимален), а наибольшее — $\frac{1}{3}$ (когда знаменатель минимален). Область значений выражения — отрезок $[\frac{1}{5}, \frac{1}{3}]$. Ответ: $[\frac{1}{5}, \frac{1}{3}]$.

3) $\frac{1}{\sin 4x - 1}$. Область значений функции $\sin 4x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Найдем область значений знаменателя $\sin 4x - 1$. Наименьшее значение знаменателя: $-1 - 1 = -2$. Наибольшее значение знаменателя: $1 - 1 = 0$. Значит, $-2 \le \sin 4x - 1 \le 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sin 4x - 1 \neq 0$, что означает $\sin 4x \neq 1$. Таким образом, знаменатель принимает значения из полуинтервала $[-2, 0)$. Пусть $y = \sin 4x - 1$, тогда $y \in [-2, 0)$. Когда $y = -2$, значение выражения равно $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Когда $y$ стремится к 0 (оставаясь отрицательным), значение выражения $\frac{1}{y}$ стремится к $-\infty$. Следовательно, область значений выражения — это луч $(-\infty, -\frac{1}{2}]$. Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{2}]$.

Самостоятельная работа № 20

Знаки значений тригонометрических функций.

Чётность и нечётность тригонометрических функций

1. Найдите значение выражения

$2\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 3\text{sin}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 10\text{cos}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right).$

2. Сравните:

1) $\text{cos } 40^\circ \text{ и sin } 240^\circ$;

2) $\text{tg } 160^\circ \text{ и ctg } (-160^\circ)$;

3) $\text{sin } \frac{17\pi}{10} \text{ и cos } \frac{3\pi}{10}$;

4) $\text{tg } 5 \text{ и sin } 2,5$.

3. Углом какой координатной четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\text{sin } \alpha > 0 \text{ и sin } \alpha \text{cos } \alpha < 0$;

2) $|\text{sin } \alpha| = \text{sin } \alpha \text{ и sin } \alpha \text{cos } \alpha > 0$?

4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x\text{tg}x}{2 - \text{cos}x}$;

2) $f(x) = \frac{\text{sin}x}{|x| - 3}$;

3) $f(x) = \frac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\text{tg}x}{x - \frac{\pi}{4}}$.

1.

Для нахождения значения выражения используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, а также табличные значения.

Исходное выражение: $2\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) \operatorname{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 10\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Применяем свойства чётности/нечётности:
$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$ (нечётная функция)
$\sin(-x) = -\sin(x)$ (нечётная функция)
$\cos(-x) = \cos(x)$ (чётная функция)

Выражение преобразуется к виду:
$2\left(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) \left(-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\right)^2 + 3\left(-\sin\frac{\pi}{2}\right) + 10\left(\cos\frac{\pi}{6}\right)^2$

Подставляем известные значения тригонометрических функций:
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
$\sin\frac{\pi}{2} = 1$
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем:
$2(-1) (\sqrt{3})^2 + 3(-1) + 10\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2(-1)(3) - 3 + 10\left(\frac{3}{4}\right) = -6 - 3 + \frac{30}{4} = -9 + 7,5 = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

2.

1) $\cos 40^\circ$ и $\sin 240^\circ$

Угол $40^\circ$ находится в первой координатной четверти, где косинус положителен, следовательно $\cos 40^\circ > 0$.

Угол $240^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен, следовательно $\sin 240^\circ < 0$.

Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\cos 40^\circ > \sin 240^\circ$.

Ответ: $\cos 40^\circ > \sin 240^\circ$.

2) $\operatorname{tg} 160^\circ$ и $\operatorname{ctg}(-160^\circ)$

Угол $160^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 160^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен, следовательно $\operatorname{tg} 160^\circ < 0$.

Котангенс - нечётная функция, поэтому $\operatorname{ctg}(-160^\circ) = -\operatorname{ctg}(160^\circ)$.

Во второй четверти котангенс также отрицателен, то есть $\operatorname{ctg}(160^\circ) < 0$.

Следовательно, $-\operatorname{ctg}(160^\circ)$ будет положительным числом.
Поскольку $\operatorname{tg} 160^\circ$ - отрицательное число, а $\operatorname{ctg}(-160^\circ)$ - положительное, то $\operatorname{tg} 160^\circ < \operatorname{ctg}(-160^\circ)$.

Ответ: $\operatorname{tg} 160^\circ < \operatorname{ctg}(-160^\circ)$.

3) $\sin \frac{17\pi}{10}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$

Определим, в каких четвертях находятся углы.
Для угла $\frac{17\pi}{10}$: $\frac{3\pi}{2} = \frac{15\pi}{10} < \frac{17\pi}{10} < 2\pi = \frac{20\pi}{10}$. Угол находится в четвёртой координатной четверти, где синус отрицателен, то есть $\sin \frac{17\pi}{10} < 0$.

Для угла $\frac{3\pi}{10}$: $0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$. Угол находится в первой координатной четверти, где косинус положителен, то есть $\cos \frac{3\pi}{10} > 0$.

Следовательно, $\sin \frac{17\pi}{10} < \cos \frac{3\pi}{10}$.

Ответ: $\sin \frac{17\pi}{10} < \cos \frac{3\pi}{10}$.

4) $\operatorname{tg} 5$ и $\sin 2,5$

Определим, в каких четвертях находятся углы, заданные в радианах (используем $\pi \approx 3,14$).
$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$. Так как $4,71 < 5 < 6,28$, угол 5 радиан находится в четвёртой координатной четверти. Тангенс в этой четверти отрицателен: $\operatorname{tg} 5 < 0$.

$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Так как $1,57 < 2,5 < 3,14$, угол 2,5 радиана находится во второй координатной четверти. Синус в этой четверти положителен: $\sin 2,5 > 0$.

Следовательно, $\operatorname{tg} 5 < \sin 2,5$.

Ответ: $\operatorname{tg} 5 < \sin 2,5$.

3.

1) $\sin \alpha > 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$

Из первого условия $\sin \alpha > 0$ следует, что угол $\alpha$ находится в I или II координатной четверти.

Так как $\sin \alpha$ - положительное число, из второго условия $\sin \alpha \cos \alpha < 0$ следует, что $\cos \alpha$ должен быть отрицательным числом, то есть $\cos \alpha < 0$. Это возможно в II и III координатных четвертях.

Пересечением этих условий (I, II четверти и II, III четверти) является II четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом второй координатной четверти.

2) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$

Условие $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ выполняется, когда $\sin \alpha \ge 0$. Это соответствует I и II координатным четвертям.

Из второго условия $\sin \alpha \cos \alpha > 0$ и того, что $\sin \alpha > 0$ (равенство нулю исключается, так как произведение строго больше нуля), следует, что $\cos \alpha$ также должен быть положительным, то есть $\cos \alpha > 0$. Это возможно в I и IV координатных четвертях.

Пересечением этих условий (I, II четверти и I, IV четверти) является I четверть.

Ответ: Угол $\alpha$ является углом первой координатной четверти.

4.

Функция $f(x)$ является чётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x)$ является нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) $f(x) = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x}$

Область определения функции $D(f)$: $\cos x \ne 0$ и $2 - \cos x \ne 0$. Второе условие выполняется всегда. Первое условие: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x) \operatorname{tg}(-x)}{2 - \cos(-x)} = \frac{(-x) (-\operatorname{tg} x)}{2 - \cos x} = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = \frac{\sin x}{|x| - 3}$

Область определения функции $D(f)$: $|x| - 3 \ne 0 \implies |x| \ne 3 \implies x \ne \pm 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{|-x| - 3} = \frac{-\sin x}{|x| - 3} = - \frac{\sin x}{|x| - 3} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\operatorname{tg} x}{x - \frac{\pi}{4}}$

Область определения функции $D(f)$: $x - \frac{\pi}{4} \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{4}$. Также для тангенса $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения содержит точку $x = -\frac{\pi}{4}$, но не содержит точку $x = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, область определения не является симметричной относительно нуля.

Поскольку область определения несимметрична, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.