Номер 6, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x+1}$;

2) $y = \left|\frac{1}{3x+1}\right|$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3-2x}$;

2) $y = \sqrt{3-2|x|}$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|4|x|-1| = a(x+2)$ имеет три корня?

1)

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3x+1}$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

2. Строим график функции $y = \frac{1}{3x}$. Это результат сжатия графика $y = \frac{1}{x}$ к оси OY в 3 раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0/3, y_0)$.

3. Преобразуем исходную функцию: $y = \frac{1}{3x+1} = \frac{1}{3(x + 1/3)}$. Это означает, что график $y = \frac{1}{3x}$ нужно сдвинуть влево по оси OX на $1/3$.

Итоговый график — это гипербола с вертикальной асимптотой $x = -1/3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3x+1}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сжатия к оси OY в 3 раза и последующего сдвига влево на $1/3$. Это гипербола с асимптотами $x = -1/3$ и $y=0$.

2)

Для построения графика функции $y = \left|\frac{1}{3x+1}\right|$ воспользуемся правилом построения графика $y = |f(x)|$.

1. Сначала строим график функции $y = f(x) = \frac{1}{3x+1}$, как это сделано в предыдущем пункте.

2. Часть графика, которая расположена выше или на оси OX (где $y \ge 0$), остается без изменений.

3. Часть графика, которая расположена ниже оси OX (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

В результате обе ветви гиперболы будут находиться в верхней полуплоскости ($y > 0$). Асимптоты остаются прежними: $x = -1/3$ и $y=0$.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{1}{3x+1}\right|$ получается из графика $y = \frac{1}{3x+1}$ путем симметричного отражения его части, лежащей ниже оси OX, относительно оси OX.

2.

1)

Для построения графика функции $y = \sqrt{3-2x}$ выполним последовательные преобразования, начиная с базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси OX, с вершиной в точке $(0,0)$.

2. Строим график $y = \sqrt{-x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси OY.

3. Строим график $y = \sqrt{-2x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{-x}$ сжатием к оси OY в 2 раза.

4. Преобразуем исходную функцию: $y = \sqrt{3-2x} = \sqrt{-2(x - 3/2)}$. Это означает, что график $y = \sqrt{-2x}$ нужно сдвинуть вправо по оси OX на $3/2$.

Итоговый график — это ветвь параболы, выходящая из точки $(3/2, 0)$ и идущая влево и вверх. Область определения: $3-2x \ge 0 \implies x \le 3/2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3-2x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, сжатия к оси OY в 2 раза и сдвига вправо на $3/2$.

2)

Для построения графика функции $y = \sqrt{3-2|x|}$ воспользуемся правилом построения графика $y = f(|x|)$.

1. Сначала строим график функции $y = f(x) = \sqrt{3-2x}$, как это сделано в предыдущем пункте.

2. Часть графика, которая находится в правой полуплоскости и на оси OY (где $x \ge 0$), оставляем без изменений.

3. Часть графика, которая находится в левой полуплоскости (где $x < 0$), удаляем.

4. Оставшуюся часть графика ($x \ge 0$) симметрично отражаем относительно оси OY.

Часть графика $y = \sqrt{3-2x}$ при $x \ge 0$ — это дуга, соединяющая точки $(0, \sqrt{3})$ и $(3/2, 0)$. Отразив ее относительно оси OY, мы получим симметричную дугу, соединяющую точки $(-3/2, 0)$ и $(0, \sqrt{3})$. Итоговый график симметричен относительно оси OY. Область определения: $3-2|x| \ge 0 \implies |x| \le 3/2 \implies x \in [-3/2, 3/2]$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3-2|x|}$ получается из части графика $y = \sqrt{3-2x}$ для $x \ge 0$ путем ее симметричного отражения относительно оси OY.

3.

Решим данное уравнение графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |4|x|-1|$ и $y = a(x+2)$.

Построение графика $y = |4|x|-1|$:

1. Начнем с прямой $y = 4x-1$.

2. График $y = 4|x|-1$ получается из части прямой $y=4x-1$ при $x \ge 0$ и ее симметричного отражения относительно оси OY. Это V-образный график ("галочка") с вершиной в точке $(0, -1)$.

3. График $y = |4|x|-1|$ получается из предыдущего графика путем отражения части, лежащей ниже оси OX, вверх относительно оси OX. Вершина $(0,-1)$ перейдет в точку $(0,1)$. Итоговый график имеет W-образную форму. Его ключевые точки: два "угла" на оси OX в точках $(-1/4, 0)$ и $(1/4, 0)$, и "вершина" (локальный максимум) в точке $(0, 1)$.

Анализ графика $y = a(x+2)$:

Это уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку $(-2, 0)$ (так как при $x=-2$ выражение равно нулю для любого $a$). Параметр $a$ является угловым коэффициентом (наклоном) прямой.

Поиск количества пересечений:

Будем мысленно вращать прямую $y = a(x+2)$ вокруг точки $(-2, 0)$ и считать количество точек пересечения с W-образным графиком.

• При $a \le 0$ прямая будет иметь не более двух точек пересечения.

• При $a > 0$ прямая наклонена вправо. При малых значениях $a$ будет две точки пересечения (на крайних "лучах" W-графика).

• Количество точек пересечения изменится, когда прямая пройдет через одну из вершин W-графика. Наиболее интересный случай для получения трех корней — прохождение через вершину $(0, 1)$.

• Найдем значение $a$, при котором прямая $y=a(x+2)$ проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 1)$. Угловой коэффициент $a$ равен: $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1-0}{0 - (-2)} = \frac{1}{2}$.

• При $a = 1/2$ прямая проходит точно через вершину $(0,1)$ W-графика. Кроме этой точки, она пересекает два крайних луча графика. Таким образом, мы имеем ровно три точки пересечения, то есть три корня уравнения.

• Если $a > 1/2$, прямая пройдет "выше" вершины $(0,1)$ и будет пересекать W-график в четырех точках (пока не станет параллельной одному из лучей). Если $0 < a < 1/2$, прямая пройдет "ниже" вершины $(0,1)$ и будет иметь две точки пересечения.

Таким образом, уравнение имеет три корня только при одном значении параметра $a$.

Ответ: $a=1/2$.