Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Конечные и бесконечные множества

1. Докажите, что множество точек сторон квадрата и множество точек описанной около этого квадрата окружности равномощны.

2. Каких натуральных чисел больше: четырёхзначных чисел или пятизначных чисел, кратных числу 10?

3. В спортивной школе 70 учащихся посещают баскетбольную секцию или легкоатлетическую секцию. Известно, что 15 из них посещают обе секции. Докажите, что хотя бы одну из секций посещают не меньше 43 учащихся.

4. Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 7, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 9.

1. Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию).
Рассмотрим квадрат с центром в начале координат $O(0,0)$ и описанную около него окружность. Пусть $S$ – множество точек на сторонах квадрата, а $C$ – множество точек на окружности.
Установим соответствие между точками этих двух множеств. Для каждой точки $P$ на сторонах квадрата проведем луч из центра $O$ через точку $P$. Этот луч пересечет окружность в единственной точке $Q$. Поставим в соответствие точке $P$ точку $Q$.
Это соответствие является взаимно-однозначным (биекцией):
1. Каждой точке $P \in S$ соответствует единственная точка $Q \in C$.
2. Для любой точки $Q \in C$ существует единственная точка $P \in S$, которая лежит на луче $OQ$. Эта точка $P$ является точкой пересечения луча $OQ$ с периметром квадрата.
Поскольку мы установили биекцию между множеством точек сторон квадрата и множеством точек описанной окружности, эти множества равномощны.
Ответ: Множества равномощны, так как между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие путем проектирования точек квадрата на окружность из их общего центра.

2. Найдем количество четырехзначных натуральных чисел. Первое четырехзначное число – 1000, последнее – 9999. Их общее количество равно $9999 - 1000 + 1 = 9000$.
Теперь найдем количество пятизначных натуральных чисел, кратных числу 10. Пятизначное число кратно 10, если его последняя цифра – 0.
Первая цифра пятизначного числа может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов).
Вторая, третья и четвертая цифры могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов для каждой).
Пятая цифра должна быть 0 (1 вариант).
Общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 9000$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что количество четырехзначных чисел (9000) равно количеству пятизначных чисел, кратных 10 (9000).
Ответ: Количество четырехзначных чисел и пятизначных чисел, кратных 10, одинаково.

3. Пусть $Б$ – множество учащихся, посещающих баскетбольную секцию, а $Л$ – множество учащихся, посещающих легкоатлетическую секцию.
По условию, общее число учащихся, посещающих хотя бы одну из секций, равно $|Б \cup Л| = 70$.
Число учащихся, посещающих обе секции, равно $|Б \cap Л| = 15$.
Используем формулу включений-исключений: $|Б \cup Л| = |Б| + |Л| - |Б \cap Л|$.
Подставим известные значения: $70 = |Б| + |Л| - 15$.
Отсюда найдем суммарное количество посещений (сумма мощностей множеств): $|Б| + |Л| = 70 + 15 = 85$.
Нам нужно доказать, что $|Б| \ge 43$ или $|Л| \ge 43$.
Докажем от противного. Предположим, что в каждой секции занимается меньше 43 учащихся, то есть $|Б| < 43$ и $|Л| < 43$.
Так как количество учащихся – целое число, то это эквивалентно $|Б| \le 42$ и $|Л| \le 42$.
В этом случае их сумма была бы не больше, чем $42 + 42 = 84$.
То есть, $|Б| + |Л| \le 84$.
Но мы ранее получили, что $|Б| + |Л| = 85$. Получили противоречие ($85 \le 84$ – неверно).
Следовательно, наше предположение неверно, и хотя бы одну из секций посещают не меньше 43 учащихся.
Ответ: Доказано, что хотя бы одну из секций посещают не меньше 43 учащихся.

4. Два множества равномощны, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию).
Пусть $A$ – множество натуральных чисел, кратных числу 7. Элементы этого множества имеют вид $7n$, где $n$ – любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).
$A = \{7, 14, 21, 28, \dots, 7n, \dots \}$
Пусть $B$ – множество натуральных чисел, кратных числу 9. Элементы этого множества имеют вид $9m$, где $m$ – любое натуральное число ($m \in \mathbb{N}$).
$B = \{9, 18, 27, 36, \dots, 9m, \dots \}$
Рассмотрим функцию $f: A \to B$, которая каждому элементу $a \in A$ вида $a=7n$ ставит в соответствие элемент $b \in B$ вида $b=9n$. Таким образом, $f(7n) = 9n$.
Докажем, что эта функция является биекцией.
1. Инъективность (взаимная однозначность). Если $f(a_1) = f(a_2)$, где $a_1=7n_1$ и $a_2=7n_2$, то $9n_1 = 9n_2$, откуда следует, что $n_1=n_2$. А значит и $a_1=a_2$. Следовательно, разным элементам из $A$ соответствуют разные элементы из $B$.
2. Сюръективность (отображение "на"). Для любого элемента $b \in B$ вида $b=9n$ найдется элемент $a \in A$, а именно $a=7n$, такой что $f(a)=b$. То есть, у каждого элемента из множества $B$ есть прообраз в множестве $A$.
Поскольку мы установили биекцию между множествами $A$ и $B$, эти множества равномощны.
Ответ: Множества равномощны, так как между ними существует биективное отображение $f(7n) = 9n$.