Номер 13, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Свойства корня n-й степени

1. Сравните:

1) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$;

2) $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$;

2) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^9}$;

2) $\sqrt[3]{-a^{10}}$;

3) $\sqrt[4]{x^{10}y^5}$;

4) $\sqrt[4]{-16x^7}$;

5) $\sqrt[4]{a^6b^5}$, если $a \le 0$;

6) $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}}$, если $b \le 0$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $3y\sqrt[5]{2y^2}$;

2) $m\sqrt{-m^3}$;

3) $m^4\sqrt[4]{m^5}$;

4) $c\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0$;

5) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0$.

5. Упростите выражение

$\left( \frac{\sqrt[4]{a}+4}{\sqrt[4]{a}-4} - \frac{\sqrt[4]{a}-4}{\sqrt[4]{a}+4} \right) \cdot \frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$.

1. Сравните:

1) Чтобы сравнить $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 3 равно 12.

$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

Так как $343 < 625$, то $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{625}$, следовательно, $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.

2) Чтобы сравнить $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$, приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 6 равно 12.

$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[12]{216}$

$\sqrt[6]{15} = \sqrt[6 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[12]{225}$

Так как $216 < 225$, то $\sqrt[12]{216} < \sqrt[12]{225}$, следовательно, $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.

Ответ: $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, упростим функцию:

$y = |x+2|$

График этой функции — это график функции $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox. Вершина графика находится в точке $(-2, 0)$. Для $x \ge -2$ график совпадает с прямой $y = x+2$, а для $x < -2$ — с прямой $y = -x-2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{(x+2)^6}$ является графиком функции $y = |x+2|$.

2) $y = \sqrt[8]{(x-3)^5} \cdot \sqrt[8]{(x-3)^3}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$(x-3)^5 \ge 0 \implies x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Область определения функции: $x \ge 3$.

Упростим выражение:

$y = \sqrt[8]{(x-3)^5 \cdot (x-3)^3} = \sqrt[8]{(x-3)^8}$

Так как для $x \ge 3$ выражение $x-3$ неотрицательно, то $\sqrt[8]{(x-3)^8} = x-3$.

Таким образом, $y = x-3$ при $x \ge 3$. График этой функции — луч, выходящий из точки $(3, 0)$.

Ответ: График функции является лучом $y = x-3$ с началом в точке $(3, 0)$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot x} = |x^2|\sqrt[4]{x} = x^2\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $x^2\sqrt[4]{x}$.

2) $\sqrt[3]{-a^{10}} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^9 \cdot a} = \sqrt[3]{(-1) \cdot (a^3)^3 \cdot a} = -a^3\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $-a^3\sqrt[3]{a}$.

3) $\sqrt[4]{x^{10}y^5}$. Область определения $x^{10}y^5 \ge 0$, так как $x^{10} \ge 0$ для любого $x$, то $y^5 \ge 0 \implies y \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^{10}y^5} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt[4]{(x^2)^4 \cdot y^4 \cdot x^2y} = |x^2||y|\sqrt[4]{x^2y} = x^2y\sqrt[4]{x^2y}$ (так как $y \ge 0$).

Ответ: $x^2y\sqrt[4]{x^2y}$.

4) $\sqrt[4]{-16x^7}$. Область определения $-16x^7 \ge 0 \implies x^7 \le 0 \implies x \le 0$.

$\sqrt[4]{-16x^7} = \sqrt[4]{16 \cdot (-x^7)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot x^4 \cdot (-x^3)} = |2x|\sqrt[4]{-x^3}$.

Так как $x \le 0$, то $|2x| = -2x$.

Следовательно, $\sqrt[4]{-16x^7} = -2x\sqrt[4]{-x^3}$.

Ответ: $-2x\sqrt[4]{-x^3}$.

5) $\sqrt[4]{a^6b^5}$, если $a \le 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^6b^5 \ge 0$. Так как $a^6 \ge 0$, это означает $b^5 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.

$\sqrt[4]{a^6b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot b} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[4]{a^2b}$.

По условию $a \le 0$, значит $|a| = -a$. Так как $b \ge 0$, то $|b| = b$.

Получаем: $-ab\sqrt[4]{a^2b}$.

Ответ: $-ab\sqrt[4]{a^2b}$.

6) $\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}}$, если $b \le 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{17}b^{26} \ge 0$. Так как $b^{26} \ge 0$, то $-a^{17} \ge 0$, что означает $a^{17} \le 0$, то есть $a \le 0$.

$\sqrt[8]{-a^{17}b^{26}} = \sqrt[8]{a^{16} \cdot (-a) \cdot b^{24} \cdot b^2} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$.

$|a^2| = a^2$.

По условию $b \le 0$, значит $b^3 \le 0$, и $|b^3| = -b^3$.

Получаем: $a^2(-b^3)\sqrt[8]{-ab^2} = -a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.

Ответ: $-a^2b^3\sqrt[8]{-ab^2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $3y\sqrt[5]{2y^2} = \sqrt[5]{(3y)^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{243y^5 \cdot 2y^2} = \sqrt[5]{486y^7}$.

Ответ: $\sqrt[5]{486y^7}$.

2) $m\sqrt{-m^3}$. Выражение определено при $-m^3 \ge 0$, то есть $m^3 \le 0$, откуда $m \le 0$.

Так как $m \le 0$, то вносимый под корень четной степени множитель $m$ является неположительным. Поэтому перед корнем ставим знак минус, а под корень вносим $-m$ (которое будет неотрицательным).

$m\sqrt{-m^3} = -(-m)\sqrt{-m^3} = -\sqrt{(-m)^2(-m^3)} = -\sqrt{m^2(-m^3)} = -\sqrt{-m^5}$.

Ответ: $-\sqrt{-m^5}$.

3) $m\sqrt[4]{m^5}$. Выражение определено при $m^5 \ge 0$, то есть $m \ge 0$.

Так как $m \ge 0$, множитель $m$ неотрицателен, и его можно вносить под корень четной степени.

$m\sqrt[4]{m^5} = \sqrt[4]{m^4 \cdot m^5} = \sqrt[4]{m^9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{m^9}$.

4) $c\sqrt[8]{c^6}$, если $c \le 0$.

Так как $c \le 0$, вносимый множитель $c$ неположителен. Ставим минус перед корнем, а под корень вносим $-c$.

$c\sqrt[8]{c^6} = -(-c)\sqrt[8]{c^6} = -\sqrt[8]{(-c)^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot c^6} = -\sqrt[8]{c^{14}}$.

Ответ: $-\sqrt[8]{c^{14}}$.

5) $x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}}$, если $x < 0, y > 0$.

Определим знак множителя $x^3y^7$. Так как $x < 0$, то $x^3 < 0$. Так как $y > 0$, то $y^7 > 0$. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно, то есть $x^3y^7 < 0$.

Вносим отрицательный множитель под корень четной степени, ставя минус перед корнем.

$x^3y^7\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -(-x^3y^7)\sqrt[10]{x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{(-x^3y^7)^{10} \cdot x^8y^{12}}$

$= -\sqrt[10]{x^{30}y^{70}x^8y^{12}} = -\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

Ответ: $-\sqrt[10]{x^{38}y^{82}}$.

5. Упростите выражение:

$(\frac{\sqrt[4]{a}+4}{\sqrt[4]{a}-4} - \frac{\sqrt[4]{a}-4}{\sqrt[4]{a}+4}) \cdot \frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}}$

Область допустимых значений: $a > 0$ и $a \ne 256$.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt[4]{a}-4)(\sqrt[4]{a}+4) = (\sqrt[4]{a})^2 - 4^2 = \sqrt{a}-16$.

$\frac{(\sqrt[4]{a}+4)^2 - (\sqrt[4]{a}-4)^2}{(\sqrt[4]{a}-4)(\sqrt[4]{a}+4)} = \frac{(\sqrt{a}+8\sqrt[4]{a}+16) - (\sqrt{a}-8\sqrt[4]{a}+16)}{\sqrt{a}-16}$

$= \frac{\sqrt{a}+8\sqrt[4]{a}+16 - \sqrt{a}+8\sqrt[4]{a}-16}{\sqrt{a}-16} = \frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-16}$.

2. Упростим второй множитель:

$\frac{16-\sqrt{a}}{32\sqrt[4]{a^3}} = \frac{-(\sqrt{a}-16)}{32\sqrt[4]{a^3}}$.

3. Выполним умножение:

$\frac{16\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-16} \cdot \frac{-(\sqrt{a}-16)}{32\sqrt[4]{a^3}} = -\frac{16\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}-16)}{32\sqrt[4]{a^3}(\sqrt{a}-16)}$.

Сократим $(\sqrt{a}-16)$:

$= -\frac{16\sqrt[4]{a}}{32\sqrt[4]{a^3}} = -\frac{1}{2} \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a^3}}$.

4. Упростим полученное выражение, используя свойства степеней ($ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $):

$-\frac{1}{2} \frac{a^{1/4}}{a^{3/4}} = -\frac{1}{2} a^{\frac{1}{4} - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2} a^{-\frac{2}{4}} = -\frac{1}{2} a^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{a}}$.

Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{a}}$.